平面図形の問題

使う技能: 対頂角は等しいこと、平行線の錯角は等しいこと。

1. 対頂角を使う
直線 $\ell$ と直線 $n$ は点 $\mathrm{P}$ で交わっている。$\mathrm{C}$ と $\mathrm{A}$ は $\mathrm{P}$ をはさんで直線 $\ell$ 上の反対側にあり、$\mathrm{R}$ と $\mathrm{Q}$ は $\mathrm{P}$ をはさんで直線 $n$ 上の反対側にある。よって、$\angle \mathrm{CPR}$ と $\angle \mathrm{APQ}$ は対頂角であり、
$$\angle \mathrm{APQ}=\angle \mathrm{CPR}=65^{\circ }$$

2. 錯角を使う
$\angle \mathrm{APQ}$ は直線 $n$ の右側で直線 $\ell$ の下側の角、$\angle \mathrm{PQB}$ は直線 $n$ の左側で直線 $m$ の上側の角である。どちらも 2 直線 $\ell$, $m$ のあいだにあり、直線 $n$ に対して反対側にあるので、この 2 つの角は錯角である。$\ell \parallel m$ なので錯角は等しく、
$$\angle \mathrm{PQB}=\angle \mathrm{APQ}=65^{\circ }$$

よって、$\angle \mathrm{PQB}=65^{\circ }$ である。

点 Q から点 P へ向かう向きは、点 P から点 R へ向かう向きと同じである（R は P をはさんで Q と反対側にあり、直線 n 上で Q, P, R の順に並ぶ）。また、直線 m 上で Q から B へ向かう向きは左向きで、直線 ℓ 上で P から C へ向かう向きも左向きなので、同じ向きである。よって ∠PQB と ∠RPC は、平行な 2 直線 ℓ, m に直線 n が交わってできる同位角である。平行線の同位角は等しいので、∠PQB = ∠CPR = 65°。検算: ∠CPR の対頂角は、P の下側で右向き（A 側）になる角 ∠APQ で 65°。これと ∠PQB は直線 n の同じ側にならない角どうしで錯角の関係にある。∠APQ は PA が右向き、QB が左向きで、錯角として等しく 65°。どちらの考え方でも 65° になる。