平面図形の問題

円の中心は、長方形の各辺から $1\text{cm}$ 内側を動きます。円が通った部分は、長方形全体から次の 2 つを取りのぞいた部分です。

(1) まん中の、円が一度も届かない長方形の部分

円の中心は辺から $1\text{cm}$ 内側を通り、円はさらにそこから $1\text{cm}$ 内側まで届きます。つまり各辺から $2\text{cm}$ 内側までは円が通ります。届かない部分は
$$\text{たて }6-2\times 2=2(\text{cm}),\text{横 }10-2\times 2=6(\text{cm})$$
の長方形で、面積は
$$2\times 6=12({\text{cm}}^2)$$
です。

(2) 4 つの角の、円が届かない部分

長方形の角では、円は 2 つの辺に同時にふれたところで向きを変えるので、角のすみまでは届きません。届かない部分は、1 辺 $1\text{cm}$ の正方形から、半径 $1\text{cm}$ の円の $\frac{1}{4}$ を取りのぞいた形です。1 つの角あたり
$$1\times 1-1\times 1\times 3.14\times \frac{1}{4}=1-0.785=0.215({\text{cm}}^2)$$
で、4 つの角で
$$0.215\times 4=0.86({\text{cm}}^2)$$
です。

長方形全体の面積は $6\times 10=60{\text{cm}}^2$ なので、円が通った部分の面積は
$$60-12-0.86=47.14({\text{cm}}^2)$$
です。

答え: $47.14{\text{cm}}^2$

円は辺にふれながら内側を 1 周するので、円が通る部分は、長方形の内側で辺から幅 2 cm（円の直径）の帯の部分です。ただし 4 すみでは円は 2 つの辺に同時にふれるので、すみの小さな部分は通りません。

通らない中央の長方形は、たて $6-2\times 2=2$ cm、よこ $10-2\times 2=6$ cm で、面積は $2\times 6=12$ cm² です。長方形全体は $6\times 10=60$ cm² なので、帯の部分は $60-12=48$ cm² です。
4 つのすみで円が通らない部分は、1 辺 1 cm の正方形から半径 1 cm の四分円を取った形で、1 つの面積は $1-3.14÷4=0.215$ cm² です。4 つ分で $0.215\times 4=0.86$ cm² です。
よって円が通った部分の面積は $48-0.86=47.14$ cm² です。
確かめ: 4 つのすみの形をまとめると、1 辺 1 cm の正方形 4 つから半径 1 cm の円 1 つ分を引くので $4-3.14=0.86$ cm²。$48-0.86=47.14$ cm²。一致します。