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立体図形の問題

難易度 3中学入試の基本レベル算数立体図形

直方体 ABCD-EFGH があります。上の面は長方形 ABCD で、頂点 E、F、G、H はそれぞれ頂点 A、B、C、D の真下にあります。辺の長さは AB $= 6$ cm、AD $= 8$ cm、AE $= 10$ cm です。

辺 AE のまん中の点を M とします。この直方体を、 $3$ つの点 B、D、M を通る平面で切って $2$ つの立体に分けました。このとき、頂点 A をふくまないほうの立体の体積は何 cm³ ですか。

A

B

C

D

E

F

G

H

M

6 cm8 cm10 cm

この問題で使うもの

直方体を平面で切った立体の体積（説明と入口の問題）
角すい・円すいの体積（説明と入口の問題）
直方体・立方体の体積（説明と入口の問題）
三角形・四角形の面積（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（8 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

切り取られる頂点 A のまわりの部分がどんな立体になるかを考えましょう。求める立体の体積は、直方体からその部分をひけば求められます。

ヒント 2

頂点 A のまわりの部分は、三角形 ABD を底面とし、AM を高さとする三角すいです。角すいの体積は「底面積 $\times$ 高さ $\div 3$ 」です。

ヒント 3

直方体の体積は $480 cm^{3}$ 、三角すいの底面積は $24 cm^{2}$ 、高さは $5$ cm です。

答えと解説

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440

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解説を読む

$3$ つの点 B、D、M を通る平面で切ると、頂点 A をふくむほうの立体は、頂点 A、B、D、M を頂点とする三角すいになります。辺 AB、AD、AM はどれも頂点 A で直角に交わっています。

直方体の体積
$6 \times 8 \times 10 = 480 (cm^{3})$

切り取られた三角すいの体積
三角形 ABD を底面と考えます。角 BAD は直角なので、底面積は
$6 \times 8 \div 2 = 24 (cm^{2})$
です。M は辺 AE のまん中の点なので AM $= 10 \div 2 = 5$ (cm) で、辺 AM は底面 ABD に垂直なので、これが高さになります。
角すいの体積は「底面積 $\times$ 高さ $\div 3$ 」なので
$24 \times 5 \div 3 = 40 (cm^{3})$
です。

頂点 A をふくまないほうの立体の体積
$480 - 40 = 440 (cm^{3})$

答えは $440$ cm³ です。

別解

直方体の体積は $6 \times 8 \times 10 = 480$ cm³ です。

3 点 B, D, M を通る平面で切ると、頂点 A のまわりに小さな三角すい（A, B, D, M を頂点とする立体）ができます。AM は $10 \div 2 = 5$ cm。切り口の平面は B, D, M を通るだけで、ほかの辺とは交わりません（平面は A をふくむ側で三角形 BDM に切り取られる）。

この三角すいは、底面を三角形 ABD（直角をはさむ辺が 6 cm と 8 cm）、高さを AM（5 cm）と考えると、体積は
$6 \times 8 \div 2 \times 5 \div 3 = 24 \times 5 \div 3 = 40$ cm³。

A をふくまないほうの体積は $480 - 40 = 440$ cm³。

検算: 三角すい 40 cm³ は直方体の $40 \div 480 = \frac{1}{12}$ で、 $480 \times \frac{11}{12} = 440$ 。

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