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立体図形の問題

難易度 1教科書の例題レベル算数立体図形

直方体 ABCD-EFGH があります。上の面が長方形 ABCD、下の面が長方形 EFGH で、A の真下に E、B の真下に F、C の真下に G、D の真下に H があります。辺の長さは、AB = 6 cm、AD = 4 cm、AE = 5 cm です。

この直方体を、3 つの頂点 B, D, E を通る平面で切り、頂点 A をふくむ三角すいを切り取りました。残った立体の体積は何 cm³ ですか。

A

B

C

D

E

F

G

H

6 cm4 cm5 cm

3 点 B, D, E を通る平面で切ります

この問題で使うもの

直方体を平面で切った立体の体積（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（8 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

切り取られるのは、頂点 A, B, D, E でできた三角すいです。

ヒント 2

残りの体積＝直方体の体積－三角すいの体積です。三角すいは、三角形 ABD を底面、AE を高さとみます。

ヒント 3

直方体の体積は $6 \times 4 \times 5 = 120$ cm³、三角形 ABD の面積は $6 \times 4 \div 2 = 12$ cm² です。

答えと解説

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100

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解説を読む

（残った立体の体積）＝（直方体の体積）－（切り取った三角すいの体積）

で求めます。

直方体の体積

$6 \times 4 \times 5 = 120$

より、120 cm³ です。

切り取った三角すいの体積

切り取った立体は、4 つの頂点 A, B, D, E でできた三角すいです。頂点 A に集まる 3 つの辺 AB, AD, AE はたがいに垂直なので、三角形 ABD を底面とみると、高さは AE になります。

底面の三角形 ABD は、直角をはさむ 2 辺が AB = 6 cm、AD = 4 cm の直角三角形なので、

$6 \times 4 \div 2 = 12$

より、底面積は 12 cm² です。高さは AE = 5 cm なので、三角すいの体積は

$12 \times 5 \div 3 = 20$

より、20 cm³ です。

残った立体の体積

$120 - 20 = 100$

よって、答えは 100 cm³ です。

別解

直方体の体積は $6 \times 4 \times 5 = 120$ cm³ 。切り取った三角すいは、頂点 A から出る 3 辺 AB = 6 cm 、AD = 4 cm 、AE = 5 cm が互いに垂直なので、底面を三角形 ABD （直角をはさむ辺が 6 cm と 4 cm ）、高さを AE = 5 cm とみると、底面積は $6 \times 4 \div 2 = 12$ cm² 、体積は $12 \times 5 \times \frac{1}{3} = 20$ cm³ 。残った立体の体積は $120 - 20 = 100$ cm³ 。
確かめ： $100 + 20 = 120$ で直方体の体積と一致。

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