立体図形の問題

難易度 4中学入試の標準レベル算数立体図形

直方体 ABCD-EFGH があります。上の面は長方形 ABCD、下の面は長方形 EFGH で、頂点 E、F、G、H はそれぞれ頂点 A、B、C、D の真下にあります。辺の長さは AB = 12 cm、AD = 6 cm、AE = 8 cm です。

この直方体の 4 つの頂点 B、D、E、G を頂点とする三角すい BDEG の体積は何 cm³ ですか。

A

B

C

D

E

F

G

H

12 cm6 cm8 cm

この問題で使うもの

角すい・円すいの体積（説明と入口の問題）
直方体・立方体の体積（説明と入口の問題）
三角形・四角形の面積（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（7 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

三角すい BDEG の底面と高さを直接求めるのはむずかしいです。直方体から、まわりの部分を取りのぞいて考えましょう。

ヒント 2

直方体から三角すい BDEG を取りのぞくと、頂点 A、C、F、H のところに 1 つずつ、合わせて 4 つの三角すいが残ります。

ヒント 3

まわりの三角すいは、どれも直角に交わる 3 本の辺が 12 cm、6 cm、8 cm です。三角すい A-BDE の体積は、底面 ABD の面積 × AE ÷ 3 で求められます。

答えと解説

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192

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解説を読む

三角すい BDEG の 6 本の辺 BD、EG、BE、BG、DE、DG は、どれも直方体の面の対角線です。直方体から三角すい BDEG を取りのぞくと、直方体の 4 つの頂点 A、C、F、H のところに、三角すいが 1 つずつ残ります。

頂点 A のところ: 三角すい A-BDE
頂点 C のところ: 三角すい C-BDG
頂点 F のところ: 三角すい F-BEG
頂点 H のところ: 三角すい H-DEG

直方体の体積
$12 \times 6 \times 8 = 576 (cm^{3})$

まわりの三角すい 1 つの体積

たとえば三角すい A-BDE は、底面を直角三角形 ABD（AB = 12 cm、AD = 6 cm で角 A が直角）、高さを AE = 8 cm と考えると、
$12 \times 6 \div 2 \times 8 \div 3 = 96 (cm^{3})$
です。

ほかの 3 つも、直角に交わる 3 本の辺の長さが 12 cm、6 cm、8 cm の三角すいなので、体積はどれも $96$ cm³ です。（三角すい C-BDG なら CB = 6 cm、CD = 12 cm、CG = 8 cm、三角すい F-BEG なら FE = 12 cm、FG = 6 cm、FB = 8 cm、三角すい H-DEG なら HG = 12 cm、HE = 6 cm、HD = 8 cm です。）

4 つ合わせると
$96 \times 4 = 384 (cm^{3})$

三角すい BDEG の体積
$576 - 384 = 192 (cm^{3})$

（まわりの三角すい 1 つは直方体の $\frac{1}{6}$ なので、三角すい BDEG は直方体の $1 - \frac{1}{6} \times 4 = \frac{1}{3}$ と考えることもできます。 $576 \times \frac{1}{3} = 192$ です。）

よって、体積は $192$ cm³ です。

別解

直方体の体積は $12 \times 6 \times 8 = 576$ cm³。
三角すい BDEG は、直方体から、頂点 A、C、F、H のまわりの 4 つの三角すいを切り取った残りになる（B、D は上の面の対角線の両はし、E、G は下の面の対角線の両はしで、ちがう向きの対角線）。
切り取る 4 つの三角すいは、A-BDE、C-BDG、F-BEG、H-DEG。
たとえば A-BDE は、底面が直角三角形 ABD（直角をはさむ辺が 12 cm と 6 cm）で面積は $12 \times 6 \div 2 = 36$ cm²、高さが AE $= 8$ cm なので、体積は $36 \times 8 \div 3 = 96$ cm³。ほかの 3 つも、直方体の 1 つの角のまわりで直角に交わる 3 辺が同じ 12、6、8 cm なので、どれも 96 cm³。
切り取る体積は $96 \times 4 = 384$ cm³。
三角すい BDEG の体積は $576 - 384 = 192$ cm³。
検算: 576 の $\frac{1}{6}$ が 96 で、4 つで $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ 。残りは $\frac{1}{3}$ なので $576 \div 3 = 192$ で一致する。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

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プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

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