立体図形の問題
同じ大きさの直方体の形をした木のブロックが 3 個あります。それぞれのブロックを、次のように平面で 1 回ずつ切って、2 つの直方体に分けました。
- 1 個目は、底面に平行な平面で切りました。切ってできた 2 つの直方体の表面積の和は、もとのブロックの表面積より cm² 大きくなりました。
- 2 個目は、正面の面に平行な平面で切りました。切ってできた 2 つの直方体の表面積の和は、もとのブロックの表面積より cm² 大きくなりました。
- 3 個目は、右側の面に平行な平面で切りました。切ってできた 2 つの直方体の表面積の和は、もとのブロックの表面積より cm² 大きくなりました。
ただし、底面は「たて × 横」の長方形、正面の面は「横 × 高さ」の長方形、右側の面は「たて × 高さ」の長方形とします。
このブロック 1 個の体積は何 cm³ ですか。
この問題で使うもの
- 直方体・立方体の表面積（説明と入口の問題）
- 直方体・立方体の体積（説明と入口の問題）
- 比の性質と簡単な比（説明と入口の問題）
この問題を解けるようになるまで（9 技能）
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右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
直方体を平面で 1 回切ると、切り口の面がいくつ新しくできるかを考え、増えた表面積から、底面・正面の面・右側の面のそれぞれの面積を求めましょう。
ヒント 2
3 つの面の面積は「たて × 横」「横 × 高さ」「たて × 高さ」です。「たて × 横」と「たて × 高さ」をくらべると、横と高さの比がわかります。
ヒント 3
底面の面積は cm²、正面の面の面積は cm²、右側の面の面積は cm² で、横 : 高さ です。横を ③、高さを ⑤ として、横 × 高さ から ① の長さを求めましょう。
答えと解説
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解説を読む
直方体を 1 回切ると、切り口の面が 2 つの直方体それぞれに 1 つずつ、合わせて 2 つ新しくできます。切り口は、切った平面と平行な面と同じ大きさの長方形です。したがって、増えた表面積は、その面の面積の 2 倍です。
- 底面（たて × 横）の面積は (cm²)
- 正面の面（横 × 高さ）の面積は (cm²)
- 右側の面（たて × 高さ）の面積は (cm²)
次に、辺の長さを求めます。「たて × 横 」と「たて × 高さ 」は、どちらも同じ「たて」に何かをかけたものなので、横と高さの比は
です。そこで、横を ③、高さを ⑤ と表すと、横 × 高さ は ① × ① の 倍です。横 × 高さ なので、① × ① となり、同じ数を 2 回かけて になる数は なので ① cm です。
よって、横 (cm)、高さ (cm)、たて (cm) です。
確かめ: たて × 高さ (cm²) で合っています。
したがって、体積は
です。
別解
ブロックの3つの辺の長さを、たて・横・高さとします。平面で切ると、切り口の面が2つ(切られた2つの直方体に1つずつ)できるので、表面積の和は、切り口の面積の2倍だけ増えます。
1個目(底面に平行): 切り口は たて×横。増えた分96 cm² は切り口2枚分なので、たて×横 = 96 ÷ 2 = 48。
2個目(正面に平行): 切り口は 横×高さ。120 ÷ 2 = 60 なので、横×高さ = 60。
3個目(右側の面に平行): 切り口は たて×高さ。160 ÷ 2 = 80 なので、たて×高さ = 80。
たて×横=48、横×高さ=60、たて×高さ=80 を3つかけると、(たて×横×高さ)を2回かけた数になり、48×60×80 = 230400。230400 = 480×480 なので、体積(たて×横×高さ) = 480。
検算: たて8、横6、高さ10 とすると、8×6=48、6×10=60、8×10=80 となり条件に合う。体積は 8×6×10 = 480。