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立体図形の問題

難易度 2教科書の練習問題レベル算数立体図形

1 辺が 6 cm の立方体があります。この立方体の 1 つの頂点を A とし、頂点 A に集まる 3 本の辺の、A ではないほうのはしの頂点を、それぞれ P、Q、R とします。

この立方体を、3 つの点 P、Q、R を通る平面で切って、2 つの立体に分けます。頂点 A をふくまないほうの立体の体積は何 cm³ ですか。

A

P

Q

R

6 cm

この問題で使うもの

直方体を平面で切った立体の体積（説明と入口の問題）
角すい・円すいの体積（説明と入口の問題）
直方体・立方体の体積（説明と入口の問題）
三角形・四角形の面積（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（8 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

頂点 A をふくむほうの立体は、どんな形になるか考えましょう。立方体からその立体を取りのぞいた残りが、求める立体です。

ヒント 2

頂点 A をふくむほうは三角すい APQR です。角すいの体積は「底面積 × 高さ ÷ 3」で求められます。

ヒント 3

三角形 APQ を底面とすると、底面積は $6 \times 6 \div 2 = 18$ (cm²)、高さは AR の長さ 6 cm です。

答えと解説

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180

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解説を読む

切り取られる、頂点 A をふくむほうの立体は、4 つの頂点 A、P、Q、R を持つ三角すいです。

三角すい APQR の体積

辺 AP、AQ、AR はどれも立方体の辺なので長さは 6 cm で、たがいに垂直です。

三角形 APQ を底面と考えると、これは直角をはさむ 2 辺が 6 cm の直角三角形なので、底面積は

$6 \times 6 \div 2 = 18 (cm^{2})$

辺 AR は底面 APQ に垂直なので、高さは AR = 6 cm です。角すいの体積は「底面積 $\times$ 高さ $\div 3$ 」なので、

$18 \times 6 \div 3 = 36 (cm^{3})$

残りの立体の体積

立方体の体積は $6 \times 6 \times 6 = 216$ (cm³) なので、頂点 A をふくまないほうの立体の体積は

$216 - 36 = 180 (cm^{3})$

答え: 180 cm³

別解

3 つの点 P、Q、R を通る平面で切ると、頂点 A をふくむほうの立体は、A、P、Q、R を頂点とする三角すいになる。
この三角すいは、底面が直角三角形 APQ（直角をはさむ 2 辺が 6 cm と 6 cm）で、高さが AR = 6 cm の三角すい。
体積は $6 \times 6 \div 2 \times 6 \div 3 = 36$ cm³。
もとの立方体の体積は $6 \times 6 \times 6 = 216$ cm³。
A をふくまないほうは $216 - 36 = 180$ 。
検算: 三角すいは立方体の $\frac{1}{6}$ で、 $216 \div 6 = 36$ と合っている。

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