平面図形の問題

四角形 PQRS は、四角形 ABCD から、四すみの 4 つの三角形 APS、BQP、CRQ、DSR を取りのぞいたものです。対角線をひいて、それぞれの三角形の面積を考えます。

三角形 APS と三角形 CRQ（対角線 BD を使う）

対角線 BD をひくと、四角形 ABCD は三角形 ABD と三角形 CBD に分かれ、その面積の和は $120{\text{cm}}^2$ です。

三角形 ABS と三角形 ABD は、頂点 B を共通にし、底辺 AS と AD が同じ直線上にあるので高さが等しく、面積の比は底辺の比 AS : AD $=1:2$ になります。よって三角形 ABS は三角形 ABD の $\frac{1}{2}$ です。

さらに、三角形 APS と三角形 ABS は、頂点 S を共通にし、面積の比は AP : AB $=1:3$ なので、三角形 APS は三角形 ABS の $\frac{1}{3}$ です。

したがって、三角形 APS は三角形 ABD の $\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{6}$ です。

同じように、三角形 CRQ は、CQ : CB $=1:2$、CR : CD $=1:3$ なので、三角形 CBD の $\frac{1}{6}$ です。

よって、
$$\text{三角形 APS}+\text{三角形 CRQ}=(\text{三角形 ABD}+\text{三角形 CBD})\times \frac{1}{6}=120\times \frac{1}{6}=20({\text{cm}}^2)$$

三角形 BQP と三角形 DSR（対角線 AC を使う）

対角線 AC をひくと、四角形 ABCD は三角形 BAC と三角形 DAC に分かれ、その面積の和は $120{\text{cm}}^2$ です。

三角形 BQP は、BQ : BC $=1:2$、BP : BA $=2:3$ なので、上と同じ考え方で三角形 BAC の $\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ です。

三角形 DSR は、DS : DA $=1:2$、DR : DC $=2:3$ なので、三角形 DAC の $\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ です。

よって、
$$\text{三角形 BQP}+\text{三角形 DSR}=(\text{三角形 BAC}+\text{三角形 DAC})\times \frac{1}{3}=120\times \frac{1}{3}=40({\text{cm}}^2)$$

四角形 PQRS の面積
$$120-20-40=60({\text{cm}}^2)$$

四角形 PQRS の面積は、四角形 ABCD から4すみの三角形 APS, BPQ, CQR, DRS をひいて求めます。
三角形 APS: AP は AB の 1/3、AS は AD の 1/2 なので、三角形 ABD の 1/3 × 1/2 = 1/6。
三角形 BPQ: BP は BA の 2/3、BQ は BC の 1/2 なので、三角形 ABC の 2/3 × 1/2 = 1/3。
三角形 CQR: CQ は CB の 1/2、CR は CD の 1/3 なので、三角形 BCD の 1/2 × 1/3 = 1/6。
三角形 DRS: DR は DC の 2/3、DS は DA の 1/2 なので、三角形 CDA の 2/3 × 1/2 = 1/3。
三角形 ABD と三角形 BCD を合わせると四角形全体(120 cm²)なので、1/6 の2つ分は 120 × 1/6 = 20 (cm²)。
三角形 ABC と三角形 CDA を合わせても四角形全体(120 cm²)なので、1/3 の2つ分は 120 × 1/3 = 40 (cm²)。
4すみの三角形の合計 = 20 + 40 = 60 (cm²)。
四角形 PQRS = 120 - 60 = 60 (cm²)。
検算: 正方形(面積120、1辺で考える)で P, Q, R, S を同様にとっても、4すみの合計は (1/6+1/3+1/6+1/3)の半分ずつの考え方で 60 となり矛盾しない。