場合の数と確率の問題

3 枚のカードの取り出し方は、取り出さない 3 枚を考えても同じで、すべて書き出すと次の $20$ 通りである。

$\{1,2,3\},\{1,2,4\},\{1,2,5\},\{1,2,6\},\{1,3,4\},\{1,3,5\},\{1,3,6\},\{1,4,5\},\{1,4,6\},\{1,5,6\},$
$\{2,3,4\},\{2,3,5\},\{2,3,6\},\{2,4,5\},\{2,4,6\},\{2,5,6\},\{3,4,5\},\{3,4,6\},\{3,5,6\},\{4,5,6\}$

どの取り出し方も同様に確からしい。

$12=4\times 3$ なので、積が $12$ の倍数になるのは、積が $4$ の倍数であり、かつ $3$ の倍数であるときである。

1 から 6 のうち、2 でわり切れる数は $2=2$, $4=2\times 2$, $6=2\times 3$ である。積が $4$ の倍数になるのは、次のどちらかのときである。
- $4$ をふくむとき
- $4$ をふくまず、$2$ と $6$ の両方をふくむとき

また、積が $3$ の倍数になるのは、$3$ または $6$ をふくむときである。

(ア) $4$ をふくむとき: 残り 2 枚は $\{1,2,3,5,6\}$ から選ぶ。そのうち $3$ も $6$ もふくまない選び方 $\{1,2\},\{1,5\},\{2,5\}$ の $3$ 通りを除いて、
$\{1,3,4\},\{1,4,6\},\{2,3,4\},\{2,4,6\},\{3,4,5\},\{3,4,6\},\{4,5,6\}$ の $7$ 通り。

(イ) $4$ をふくまず、$2$ と $6$ をふくむとき: 残り 1 枚は $1,3,5$ のどれかで、$6$ をふくむので積は必ず $3$ の倍数になる。$\{1,2,6\},\{2,3,6\},\{2,5,6\}$ の $3$ 通り。

よって、積が $12$ の倍数になる取り出し方は $7+3=10$ 通りである。

したがって、求める確率は
$$\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$$

3 枚の取り出し方は ${}_6{\mathrm{C}}_3=20$ 通り（カードはすべて区別する）。
積が $12$ の倍数 $⟺$ $3$ の倍数かつ $4$ の倍数。
$3$ の倍数になるには $3$ か $6$ を含む必要がある。$4$ の倍数になるには、$4$ を含むか、$2$ と $6$ をともに含む必要がある。
(ア) $4$ を含む場合: $\{3,4,x\}$ で $x=1,2,5,6$ の 4 通り。$3$ を含まず $6$ を含む $\{4,6,x\}$ で $x=1,2,5$ の 3 通り。計 7 通り。
(イ) $4$ を含まず $2$ と $6$ をともに含む場合: $\{2,6,x\}$ で $x=1,3,5$ の 3 通り。
合計 $7+3=10$ 通り。確率は $\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$。
検算: 例 $\{1,2,6\}$ は積 $12$、$\{3,4,5\}$ は積 $60$ でともに $12$ の倍数。