場合の数と確率の問題

玉をすべて区別し、袋 A の玉を ${\text{R}}_1,{\text{R}}_2$（赤）, ${\text{W}}_1$（白）、袋 B の玉を ${\text{R}}_3$（赤）, ${\text{W}}_2,{\text{W}}_3$（白）とする。

袋 A から取り出す玉は $3$ 通りある。そのあと袋 B には $4$ 個の玉が入っているので、袋 B から取り出す玉は $4$ 通りある。よって、玉の取り出し方は全部で
$$3\times 4=12\text{（通り）}$$
あり、これらは同様に確からしい。

袋 A にはもともと赤玉が $2$ 個ある。

(i) 袋 A から赤玉を取り出した場合（${\text{R}}_1$ または ${\text{R}}_2$ の $2$ 通り）

袋 A の赤玉は $1$ 個に減る。最後に袋 A の赤玉が $2$ 個になるには、袋 B から赤玉を取り出して戻せばよい。このとき袋 B には、もとの ${\text{R}}_3$ と入れた赤玉の $2$ 個の赤玉があるので、取り出し方は $2$ 通り。よって $2\times 2=4$（通り）。

(ii) 袋 A から白玉を取り出した場合（${\text{W}}_1$ の $1$ 通り）

袋 A の赤玉は $2$ 個のままである。最後に袋 A の赤玉が $2$ 個のままであるには、袋 B から白玉を取り出せばよい。このとき袋 B には ${\text{W}}_2,{\text{W}}_3,{\text{W}}_1$ の $3$ 個の白玉があるので、取り出し方は $3$ 通り。よって $1\times 3=3$（通り）。

(i), (ii) より、条件を満たす取り出し方は $4+3=7$（通り）。

したがって、求める確率は
$$\frac{7}{12}$$

最後に袋 A の赤玉が $2$ 個になる場合を、はじめに袋 A から移した玉の色で分ける。
(ア) 袋 A から赤玉を移す（確率 $\frac{2}{3}$）: 袋 A は赤 $1$・白 $1$、袋 B は赤 $2$・白 $2$ の $4$ 個。袋 B から赤玉を取り出して A に入れれば A の赤玉は $2$ 個になる。確率は $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。よって $\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{3}$。
(イ) 袋 A から白玉を移す（確率 $\frac{1}{3}$）: 袋 A は赤 $2$・白 $0$、袋 B は赤 $1$・白 $3$ の $4$ 個。袋 B から白玉を取り出して A に入れれば A の赤玉は $2$ 個のまま。確率は $\frac{3}{4}$。よって $\frac{1}{3}\times \frac{3}{4}=\frac{1}{4}$。
合計 $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}$。
検算: 余事象（A の赤が $1$ 個または $3$ 個）は (ア) で白を取り出す $\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{3}$ と (イ) で赤を取り出す $\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{12}$ の和 $\frac{5}{12}$ で、$\frac{7}{12}+\frac{5}{12}=1$。