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場合の数と確率の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル中学数学場合の数と確率

袋の中に、赤玉が $1$ 個、青玉が $2$ 個、白玉が $3$ 個、合わせて $6$ 個の玉が入っている。この袋から玉を $1$ 個取り出して色を調べ、その玉を袋に戻してよくかき混ぜてから、もう一度玉を $1$ 個取り出して色を調べる。 $1$ 回目と $2$ 回目に取り出した玉の色が同じである確率を求めよ。

この問題で使うもの

続けて取り出す確率（順番のある取り出し）（説明と入口の問題）
確率の意味と求め方（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（8 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$6$ 個の玉をすべて区別し、取り出した玉を戻すことに注意して、全部の取り出し方が何通りあるか考えよう。

ヒント 2

$1$ 回目も $2$ 回目も $6$ 通りずつあるので全部で $36$ 通り。同じ色になる場合を赤・青・白に分けて数えよう。

ヒント 3

赤・赤は $1$ 通り、青・青は $2 \times 2 = 4$ 通りである。白・白も同じように数えよう。

答えと解説

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\frac{7}{18}

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解説を読む

$6$ 個の玉をすべて区別して考える。取り出した玉は袋に戻すので、 $1$ 回目も $2$ 回目も $6$ 通りの取り出し方があり、取り出し方は全部で
$6 \times 6 = 36 (通り)$
で、どれも同様に確からしい。

$2$ 回とも同じ色になる取り出し方を色ごとに数える。
- $2$ 回とも赤玉: $1 \times 1 = 1$ 通り
- $2$ 回とも青玉: $2 \times 2 = 4$ 通り
- $2$ 回とも白玉: $3 \times 3 = 9$ 通り

合計は $1 + 4 + 9 = 14$ 通り。

よって、求める確率は
$\frac{14}{36} = \frac{7}{18}$

別解

玉はすべて区別する。1 回目、2 回目とも 6 通りずつなので、取り出し方は全部で $6 \times 6 = 36$ 通り。
同じ色になるのは、赤 $1 \times 1 = 1$ 通り、青 $2 \times 2 = 4$ 通り、白 $3 \times 3 = 9$ 通りで、合計 $14$ 通り。
確率は $\frac{14}{36} = \frac{7}{18}$ 。
検算: $(\frac{1}{6})^{2} + (\frac{2}{6})^{2} + (\frac{3}{6})^{2} = \frac{1 + 4 + 9}{36} = \frac{14}{36} = \frac{7}{18}$ 。

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