場合の数と確率の問題

袋の中に、$1,2,3,4,5,6$ の数字が 1 つずつ書かれた 6 枚のカードが入っている。この袋からカードを 1 枚取り出し、その数字を十の位とする。取り出したカードは袋に戻さずに、続けてもう 1 枚取り出し、その数字を一の位として 2 けたの整数をつくる。このとき、できる 2 けたの整数が 4 の倍数になる確率を求めよ。

$1,2,3,4,5,6,7$ の数字が $1$ つずつ書かれた $7$ 枚のカードが袋に入っている。この袋から $3$ 枚のカードを同時に取り出し、取り出したカードに書かれた $3$ つの数をそれぞれ辺の長さとする三角形をつくる。三角形ができる確率を求めよ。ただし、$3$ つの数のうち最も大きい数が残りの $2$ つの数の和より小さいときに三角形ができ、そうでないときは三角形ができないものとする。

$1,2,3,4,5$ の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードがある。この 5 枚をすべて使って横一列に並べるとき、次の 2 つの条件をともに満たす並べ方は何通りあるか求めよ。

$(1)$ どの隣り合う 2 枚についても、書かれた数の差が $2$ 以上である。

$(2)$ 左端のカードの数は、右端のカードの数より小さい。

$100$ 円硬貨が $1$ 枚、$50$ 円硬貨が $2$ 枚、$10$ 円硬貨が $3$ 枚ある。これらの硬貨の一部または全部を使って、おつりが出ないように支払うことのできる金額は何通りあるか求めよ。ただし、$0$ 円は含めないものとする。

箱 $\mathrm{A}$ には $1,2,3$ の数字が $1$ つずつ書かれた $3$ 枚のカードが、箱 $\mathrm{B}$ には $2,3,4,5$ の数字が $1$ つずつ書かれた $4$ 枚のカードが入っている。箱 $\mathrm{A}$、箱 $\mathrm{B}$ からそれぞれカードを $1$ 枚ずつ取り出すとき、取り出した $2$ 枚のカードに書かれた数の積が偶数になる確率を求めよ。