場合の数と確率の問題

$100$ 円硬貨を使う枚数を $a$ 枚（$a=0,1$）、$50$ 円硬貨を使う枚数を $b$ 枚（$b=0,1,2$）、$10$ 円硬貨を使う枚数を $c$ 枚（$c=0,1,2,3$）とする。

まず、$100$ 円硬貨と $50$ 円硬貨でつくれる金額を表にまとめる。

• $a=0$ のとき：$b=0,1,2$ で $0$ 円、$50$ 円、$100$ 円
• $a=1$ のとき：$b=0,1,2$ で $100$ 円、$150$ 円、$200$ 円

$a=0,b=2$ の $100$ 円と、$a=1,b=0$ の $100$ 円は同じ金額なので、$100$ 円硬貨と $50$ 円硬貨でつくれる金額は
$$0\text{ 円},50\text{ 円},100\text{ 円},150\text{ 円},200\text{ 円}$$
の $5$ 通りである。

次に、$10$ 円硬貨でつくれる金額は $0$ 円、$10$ 円、$20$ 円、$30$ 円の $4$ 通りである。これは $50$ 円より小さいので、上の $5$ 通りのどれに加えても、異なる組み合わせからは異なる金額ができる（たとえば $50$ 円に $30$ 円を加えた $80$ 円は、$100$ 円に何を加えてもできない）。

よって、$0$ 円も含めると金額は
$$5\times 4=20\text{（通り）}$$
ある。このうち $0$ 円の $1$ 通りを除いて、
$$20-1=19\text{（通り）}$$

$10$ 円を単位として考える。$10$ 円硬貨は $0\sim 3$ 枚で $0,1,2,3$、$50$ 円硬貨は $0\sim 2$ 枚で $0,5,10$、$100$ 円硬貨は $0$ 枚か $1$ 枚で $0,10$ を表す。
10 円と 50 円の組み合わせの金額: $\{0,1,2,3\}+\{0,5,10\}=\{0,1,2,3,5,6,7,8,10,11,12,13\}$（12 通り）。
100 円硬貨を使うと上に $10$ を加えて $\{10,11,12,13,15,16,17,18,20,21,22,23\}$。
2 つの和集合は $\{0\sim 3,5\sim 8,10\sim 13,15\sim 18,20\sim 23\}$ で $4\times 5=20$ 通り。
$0$ 円を除くので $20-1=19$ 通り。
検算: 最大金額は $100+100+30=230$ 円（$23$）。$4,9,14,19$ は作れない（10 円の位で $0\sim 3$ 枚、50 円と 100 円は 5 の倍数なので 1 の位は $0\sim 3$ まで）ので、$0$ から $23$ までの $24$ 個のうち $4,9,14,19$ の 4 個を除いた $20$ 個と一致する。