場合の数と確率の問題
座標平面上で、点 O から点 B まで、 座標と 座標がともに整数である点を順にたどって進む。 回の移動では、 座標を だけ増やす（右へ 進む）か、 座標を だけ増やす（上へ 進む）かのどちらかを行う。このような進み方のうち、点 P を通らないものは何通りあるか求めよ。
この問題で使うもの
- 道順の数（説明と入口の問題）
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
各点に、O からその点まで来る方法の数を書きこんでいく方法を使おう。
ヒント 2
ある点への方法の数は、左隣の点の数と下隣の点の数の和になる。通ってはいけない点 P には を書けばよい。
ヒント 3
の行は左から 、 の行は左から になる。この続きを計算しよう。
答えと解説
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解説を読む
座標が 以上 以下、 座標が 以上 以下の整数である各点について、O からその点まで P を通らずに進む方法の数を順に書きこんでいく。
ある点へは、その左隣の点（ 座標が 小さい点）か、下隣の点（ 座標が 小さい点）からしか来られないので、
となる。ただし、P は通らないので、P の数は とする。
- の行： から まで、すべて
- の行： は 、 は 、 は （P）、 は 、 は
- の行： は 、 は 、 は 、 は 、 は
- の行： は 、 は 、 は 、 は 、 は
よって、P を通らない進み方は 通りである。
（別の考え方）P を通るかどうかに関係なく同じように数えると、O から B への進み方は 通りある。O から P への進み方は 通り、P から B への進み方は 通りなので、P を通る進み方は （通り）。よって （通り）となり、結果は一致する。
別解
O から B まで、右へ 回・上へ 回の合計 回の移動の並べ方は 通り。
点 P を通る進み方: O から P までは右 ・上 の並べ方で 通り、P から B までは右 ・上 の並べ方で 通り。よって 通り。
P を通らない進み方は 通り。
検算: 格子点ごとに通り数を足していく方法でも、P の通り数を として計算すると B に となる。