ある町には、東西にのびるまっすぐな道が 3 本、南北にのびるまっすぐな道が 4 本あり、碁盤の目のように交わっています。東西の道どうしの間かく、南北の道どうしの間かくは、それぞれ等しくなっています。
いちばん南の東西の道といちばん西の南北の道が交わる交差点を A、いちばん北の東西の道といちばん東の南北の道が交わる交差点を B とします。A から B まで、道にそって遠回りをしないで（東か北にだけ進んで）行く道順は、全部で何通りありますか。
道順の数
碁盤の目の道で、各交差点までの行き方の数を書きこんでたしていく方法で、遠回りしない道順の数を求められる（通れない交差点があるときもふくむ）
前提
- 積の法則と和の法則 （算数 場合の数）
この技能までの道筋（2 技能）
説明
碁盤の目のように道が並んだ町で、ある地点から別の地点まで、遠回りしないで行く道順が何通りあるかを求めます。出発点に近い交差点から順に、その交差点までの行き方の数を書きこみ、となりの交差点の数をたしていくと、どんなに道順が多くても計算で求められます。通れない交差点や道があるときにも使えます。
なぜそうしてよいのか
出発点 A から、東へ 3 区画・北へ 2 区画はなれた地点 B へ遠回りしないで行くときは、東か北にしか進みません（西や南に進むと遠回りになります）。
すると、ある交差点にたどりつく直前には、必ず「西どなりの交差点から東へ 1 区画進んできた」か「南どなりの交差点から北へ 1 区画進んできた」かのどちらか一方です。この 2 つの場合は同時には起こらない（重ならない）ので、和の法則から、
その交差点までの行き方の数 = 西どなりまでの行き方の数 + 南どなりまでの行き方の数
になります。
A から真東に並ぶ交差点と、真北に並ぶ交差点は、まっすぐ進む 1 通りしか行き方がないので 1 を書きます。あとは A に近いところから順に、西と南の数をたして書きこんでいけば、最後に B の数が出ます。通れない交差点には 0 を書いておけば、そこを通る道順は自然に数からのぞかれます（となりにたしても数がふえないからです）。
手順
出発点と到着点、進む向き（たとえば東と北）を確かめる
出発点から進む向きにまっすぐ並ぶはしの交差点に 1 を書く（とちゅうに通れない交差点があれば、そこから先は 0）
通れない交差点には 0 を書く
出発点に近い交差点から順に、「1 つ手前の 2 つの交差点（西どなりと南どなり）の数の和」を書きこむ
到着点に書かれた数が、遠回りしない道順の数になる
例題
東西にのびる 3 本の道と、南北にのびる 4 本の道が、碁盤の目のように交わっています。南西のかどの交差点 A から、北東のかどの交差点 B（A から東へ 3 区画、北へ 2 区画進んだところ）まで、道にそって遠回りしないで行く道順は何通りありますか。
例題の解答
手順 1: A から B へ、東と北にだけ進みます。交差点の位置を「東へ□区画・北へ○区画」で表します。
手順 2: A から真東に並ぶ交差点（北へ 0 区画）と、真北に並ぶ交差点（東へ 0 区画）には 1 を書きます。
手順 3: 通れない交差点はありません。
手順 4: 北へ 1 区画の列は、西から順に , , , です。北へ 2 区画の列は、西から順に , , , です。（それぞれ「西どなりの数 + 南どなりの数」です。）
手順 5: B（東へ 3 区画・北へ 2 区画）に書かれた数は 10 なので、道順は 10 通りです。
答え:
よくある誤り
はしの交差点の数を、1 ではなく 1, 2, 3, … とふやしてしまう誤り。A から真東に並ぶ交差点へは、まっすぐ進む 1 通りしかないので、正しくはどれも 1
2 つの数をたさずにかけてしまう誤り（例: 北へ 1 区画・東へ 2 区画の交差点を とする）。西から来るか南から来るかは「または」の関係なので、正しくは
通れない交差点の数を 0 にせず、そのまま計算してしまう誤り。上の例で東へ 1 区画・北へ 1 区画の交差点が通れないときは、そこを 0 にすると北へ 1 区画の列は 1, 0, 1, 2、北へ 2 区画の列は 1, 1, 2, 4 となり、正しくは 4 通り
東西の道の本数と区画の数を取りちがえる誤り。東西にのびる道が 3 本なら、北へ進む区画は 区画なので、交差点の数を書く表は 3 行 × 4 列になる
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
ある町には、東西にのびるまっすぐな道が 4 本、南北にのびるまっすぐな道が 5 本あり、それぞれ等しい間隔で通っていて、碁盤の目のようになっています。いちばん南の道といちばん西の道が交わる交差点を A、いちばん北の道といちばん東の道が交わる交差点を B とします。道にそって A から B まで遠回りをしないで行く道順は、全部で何通りありますか。
東西にのびるまっすぐな道が 4 本、南北にのびるまっすぐな道が 4 本あり、それぞれ等しい間隔で通っていて、碁盤の目のようになっています。いちばん南の道といちばん西の道が交わる交差点を A、いちばん北の道といちばん東の道が交わる交差点を B とします。また、A から東へ 2 区画、北へ 1 区画進んだところにある交差点 P は、工事のため通ることができません。道にそって A から B まで遠回りをしないで行く道順は、全部で何通りありますか。
ある公園には、東西にのびるまっすぐな道が 4 本と、南北にのびるまっすぐな道が 4 本あり、碁盤の目のように交わっています。となり合う道どうしの間かくは、どれも等しくなっています。
いちばん南の東西の道といちばん西の南北の道が交わる交差点を A、いちばん北の東西の道といちばん東の南北の道が交わる交差点を B とします。また、南から 2 本目の東西の道と、西から 2 本目の南北の道が交わる交差点を P とします。
A から B まで、道にそって最も短い道のりで行きます。このとき、交差点 P を必ず通る行き方は、全部で何通りありますか。
東西にのびるまっすぐな道が 4 本、南北にのびるまっすぐな道が 5 本あり、それぞれ同じ間かくで交わって、ご石の目のような道になっています。いちばん南の道といちばん西の道が交わる地点を A、いちばん北の道といちばん東の道が交わる地点を B とします。また、A から東へ 2 区画、北へ 1 区画進んだところにある交差点を C とします。交差点 C は工事中で通れません。A から B まで、東または北にだけ進む遠回りしない道順は、全部で何通りありますか。
座標平面上で、点 O から点 B まで、 座標と 座標がともに整数である点を順にたどって進む。 回の移動では、 座標を だけ増やす（右へ 進む）か、 座標を だけ増やす（上へ 進む）かのどちらかを行う。このような進み方のうち、点 P を通らないものは何通りあるか求めよ。
この技能の次に学べること
- 順に足し上げて数える場合の数 （中学数学 場合の数と確率）