場合の数の問題
東西にのびるまっすぐな道が 4 本、南北にのびるまっすぐな道が 4 本あり、それぞれ等しい間隔で通っていて、碁盤の目のようになっています。いちばん南の道といちばん西の道が交わる交差点を A、いちばん北の道といちばん東の道が交わる交差点を B とします。また、A から東へ 2 区画、北へ 1 区画進んだところにある交差点 P は、工事のため通ることができません。道にそって A から B まで遠回りをしないで行く道順は、全部で何通りありますか。
この問題で使うもの
- 道順の数（説明と入口の問題）
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
交差点ごとに、A からそこまでの道順の数を書きこんでいく方法で考えましょう。
ヒント 2
ある交差点への道順の数は、すぐ西とすぐ南の交差点への道順の数の和です。通れない交差点 P には と書きます。
ヒント 3
南から 2 本目の道の交差点には、西から順に と書きこめます。ここから北へ進めていきましょう。
答えと解説
答えを見る
どこでつまずきましたか？（選ぶと、戻る場所を案内します）
解説を読む
東西方向にも南北方向にも 3 区画ずつあります。遠回りをしないので、進む向きは東か北だけです。
それぞれの交差点へ A から行く道順の数を、A に近いほうから書きこみます。ある交差点への道順の数は、「すぐ西の交差点への数」と「すぐ南の交差点への数」の和です。ただし、通れない交差点 P には と書きます。
南から 1 本目（いちばん南の道）: 西から順に
南から 2 本目:
南から 3 本目:
南から 4 本目（いちばん北の道）:
よって、A から B までの道順は 通りです。
（別の考え方）P を通ってもよいときの道順は 通りです。A から P までは 通り、P から B までは 通りなので、P を通る道順は 通りです。よって 通りとなり、一致します。
別解
東西の道が 4 本、南北の道が 4 本なので、A から B までは東へ 3 区画、北へ 3 区画進む。
工事がないときの道順: 東 3 回・北 3 回の並べ方で 通り。
P（東へ 2、北へ 1）を通る道順:
A から P まで: 東 2 回・北 1 回で 3 通り。
P から B まで: 東 1 回・北 2 回で 3 通り。
P を通るのは 通り。
P を通らない道順は 通り。
検算: 各交差点までの道順を足していく。一番南の道は 1,1,1,1。次の段は 1,2,0(P),... P の位置は左から 3 番目なので 0 とすると、次の段は 1, 2, 0, 1。その上の段は 1, 3, 3, 4。一番北の段は 1, 4, 7, 11。B は 11 通りで一致する。