場合の数の問題
ある町には、東西にのびるまっすぐな道が 3 本、南北にのびるまっすぐな道が 4 本あり、碁盤の目のように交わっています。東西の道どうしの間かく、南北の道どうしの間かくは、それぞれ等しくなっています。
いちばん南の東西の道といちばん西の南北の道が交わる交差点を A、いちばん北の東西の道といちばん東の南北の道が交わる交差点を B とします。A から B まで、道にそって遠回りをしないで（東か北にだけ進んで）行く道順は、全部で何通りありますか。
この問題で使うもの
- 道順の数（説明と入口の問題）
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
A から各交差点までの行き方の数を、交差点ごとに書きこんでいきましょう。
ヒント 2
ある交差点までの行き方の数は、すぐ西の交差点までの数と、すぐ南の交差点までの数をたしたものです。
ヒント 3
いちばん南の道といちばん西の道の上の交差点はすべて 1 通りです。真ん中の道の上の交差点は、西から順に 1, 2, 3, 4 になります。
答えと解説
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解説を読む
A から B へは、東に 3 区画、北に 2 区画進みます。各交差点に「A からそこまでの行き方の数」を書きこんでいきます。
考え方
東か北にだけ進むので、ある交差点には、すぐ西の交差点から来るか、すぐ南の交差点から来るかのどちらかです。この 2 つは重ならないので、
（その交差点までの行き方）＝（すぐ西の交差点までの行き方）＋（すぐ南の交差点までの行き方）
になります。
いちばん南の道といちばん西の道の上
いちばん南の道の上の交差点には、東にまっすぐ進む 1 通りしかありません。いちばん西の道の上の交差点も、北にまっすぐ進む 1 通りだけです。
順に書きこむ
西から東へ、南から北へ順にたしていくと、次の表のようになります（下の段が南、左の列が西です。左下が A、右上が B）。
| 西 | 東 | |||
|---|---|---|---|---|
| 北の道 | 1 | 3 | 6 | 10 |
| 真ん中の道 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 南の道 | 1 | 1 | 1 | 1 |
たとえば、真ん中の道の 2 番目の交差点は 、北の道の 3 番目の交差点は 、B は です。
よって、答えは 10 通りです。
別解
南北の道が 4 本なので、東へは 3 区画進む。東西の道が 3 本なので、北へは 2 区画進む。A から B まで、東へ 3 回、北へ 2 回、合わせて 5 回の進み方の並べ方を数える。各交差点まで行く道順を A から順に足していく（A に 1 を書く）と、南の道は 1, 1, 1, 1 、真ん中の道は 1, 2, 3, 4 、北の道は 1, 3, 6, 10 となり、B までは 10 通り。
確かめ：5 回のうち北に進む 2 回を選ぶ組み合わせは 通りで一致。