場合の数の問題
ある公園には、東西にのびるまっすぐな道が 4 本と、南北にのびるまっすぐな道が 4 本あり、碁盤の目のように交わっています。となり合う道どうしの間かくは、どれも等しくなっています。
いちばん南の東西の道といちばん西の南北の道が交わる交差点を A、いちばん北の東西の道といちばん東の南北の道が交わる交差点を B とします。また、南から 2 本目の東西の道と、西から 2 本目の南北の道が交わる交差点を P とします。
A から B まで、道にそって最も短い道のりで行きます。このとき、交差点 P を必ず通る行き方は、全部で何通りありますか。
この問題で使うもの
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
P を必ず通るので、「A から P まで」と「P から B まで」に分けて考えましょう。
ヒント 2
最も短い道のりなので、東か北にだけ進みます。交差点ごとに、そこまでの行き方の数を書きこんでいくと数えやすくなります。
ヒント 3
A から P までは 2 通りです。P から B までは、東へ 2 区画・北へ 2 区画進む行き方を数えましょう。
答えと解説
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解説を読む
最も短い道のりで行くので、東か北にだけ進みます（西や南にもどると遠回りになります）。
「A から P まで」と「P から B まで」に分けて数えます。
A から P まで
P は A から東へ 1 区画、北へ 1 区画のところにあります。行き方は
- 東 → 北
- 北 → 東
の 通りです。
P から B まで
B は P から東へ 2 区画、北へ 2 区画のところにあります。各交差点に、そこまでの行き方の数を書きこんでいきます（ある交差点への行き方の数は、西どなりの交差点と南どなりの交差点の数をたしたものになります）。P を 1 として、
| 西から0区画 | 1区画 | 2区画 | |
|---|---|---|---|
| 北へ2区画 | 1 | 3 | 6 |
| 北へ1区画 | 1 | 2 | 3 |
| 北へ0区画 | 1 | 1 | 1 |
となり、P から B までの行き方は 通りです。
合計
A から P までの 2 通りのそれぞれについて、P から B までの行き方が 6 通りずつあるので、
よって、答えは 通りです。
別解
道は東西・南北とも 4 本なので、A から B までは東へ 3 区画、北へ 3 区画進みます。P は A から東へ 1 区画、北へ 1 区画の交差点です。
A から P まで: 東 1 回、北 1 回の並べ方なので 2 通り(東北、北東)。
P から B まで: 東へ 2 区画、北へ 2 区画。東 2 回・北 2 回の並べ方は、4 回のうち東を進む 2 回を選ぶ方法で 4×3÷2=6 通り。
P を必ず通るのは 2×6=12 通り。
検算: A から B まで全部では 6×5×4÷(3×2×1)=20 通り。P を通らない行き方は、A から出て最初に東へ進み次に東へ進む、または北へ進み次に北へ進む場合など、P(1,1)を通らないものを数える。A から P を通らず B へ行く行き方は 20-12=8 通りになるはず。実際、A から (1,1) を通らない道は、最初の 2 回が東東または北北のときで、東東の後は残り東 1 北 3 の 4 通り、北北の後も 4 通りで合計 8 通り。20-8=12 で一致。