男子 4 人と女子 3 人がいます。この中から、男子を 2 人、女子を 1 人選んで、3 人の係を作ります。選び方は全部で何通りありますか。ただし、選ぶ順番は考えません。
組み合わせの応用（条件つきの選び方・図形の個数）
男子と女子から別々に選ぶ選び方や、多角形の頂点を選んでできる三角形の個数を、積の法則や「全体から条件に合わないものをひく」考え方を使って求められる
前提
- 選び方（組み合わせ）の数 （算数 場合の数）
この技能までの道筋（4 技能）
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一覧で見る（前提が先）
- 樹形図で数え上げる （算数 場合の数）
- 積の法則と和の法則 （算数 場合の数）
- 並べ方の数 （算数 場合の数）
- 選び方（組み合わせ）の数 （算数 場合の数）
説明
「男子から 2 人、女子から 1 人選ぶ」のように条件がついた選び方や、「多角形の頂点を 3 つ選んでできる三角形の数」のような図形の個数を求められるようになります。別々のグループから選ぶときは積の法則を、条件に合うものが数えにくいときは「全体から条件に合わないものをひく」考え方を使います。
なぜそうしてよいのか
男子 4 人から 2 人、女子 3 人から 1 人を選ぶとき、男子の選び方と女子の選び方はおたがいに関係なく決められます。男子の選び方のどの 1 通りに対しても、女子の選び方が同じ数だけあるので、積の法則で「男子の選び方 × 女子の選び方」になります。ここでたし算にしないのは、男子と女子の両方を決めて初めて 1 つの選び方になるからです。
図形の個数も、選び方の数に言いかえられます。たとえば正六角形の 6 つの頂点から 3 つを選ぶと、その 3 点を結んで三角形が 1 つできます。選ぶ 3 点がちがえば三角形もちがい、どの 3 点も一直線上にないので、三角形の個数は「6 個から 3 個を選ぶ選び方の数」と同じになります。
一方、「少なくとも 1 人は女子」や「一直線上にある 3 点では三角形ができない」のように、条件に合うものを直接数えると場合分けが多くなるときがあります。そういうときは、まず条件を考えずに全体の選び方を数え、そこから条件に合わないもの（「全員男子」や「一直線上の 3 点」）をひきます。全体は「条件に合うもの」と「合わないもの」にもれなく重なりなく分かれるので、ひき算で正しく求められます。
手順
何をいくつ選ぶのか、どんな条件があるのかを確かめる
別々のグループから選ぶときは、グループごとに選び方の数（並べ方の数 ÷ 同じ組の並べ方の数）を求める
グループごとの選び方をかけ合わせる（積の法則）
図形の個数は、頂点や点を選ぶ選び方の数に言いかえる（例: 三角形なら 3 点を選ぶ）
条件に合うものを直接数えにくいときは、全体の選び方の数から、条件に合わないものの数をひく
例題
男子 4 人、女子 3 人の中から、男子 2 人と女子 1 人を選んで 3 人の係を作ります。選び方は全部で何通りありますか。
例題の解答
【手順 1】男子 4 人から 2 人、女子 3 人から 1 人を選びます。係の中に役割の区別はないので、順番は考えません。
【手順 2】男子 4 人から 2 人を選ぶ選び方は、並べ方 通りを、2 人の並べ方 通りでわって
で 6 通りです。女子 3 人から 1 人を選ぶ選び方は 3 通りです。
【手順 3】男子の選び方 6 通りのそれぞれに対して、女子の選び方が 3 通りずつあるので、積の法則より
で 18 通りです。
答え:
よくある誤り
男子の選び方と女子の選び方をたして 通りとしてしまう誤り。正しくは、男子と女子の両方を決めて 1 つの選び方になるので、積の法則で 通り
男子 4 人、女子 3 人から「少なくとも 1 人は女子」をふくむ 3 人を選ぶとき、全体の数から「全員女子」をひいてしまう誤り。正しくは、条件に合わないのは「全員男子」なので、全体 通りから全員男子 通りをひいて 通り
正六角形の頂点を結んでできる三角形の数を、3 点の並べ方の数 個としてしまう誤り。正しくは、同じ 3 点の並べ方 6 通りでわって 個
一直線上に 3 個、別の平行な直線上に 2 個、合わせて 5 個の点があるとき、三角形の数を 個としてしまう誤り。正しくは、同じ直線上の 3 点を選んだ 1 通りでは三角形ができないので 個
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
図書係の候補として、男子が 4 人、女子が 3 人います。この中から、男子 2 人と女子 1 人の合わせて 3 人を図書係に選びます。選び方は全部で何通りありますか。ただし、選んだ 3 人の間に役割の区別はないものとします。
1 辺 1 cm の正方形のマスを、横に 5 個、たてに 3 個、すきまなく並べて、横 5 cm、たて 3 cm の長方形の方眼を作りました。この方眼には、横に引かれた線（上下のふちもふくむ）が 4 本、たてに引かれた線（左右のふちもふくむ）が 6 本あります。
この方眼の線だけを辺として使ってかくことのできる長方形のうち、正方形でないものは全部で何個ありますか。ただし、ここでの長方形には、方眼全体の長方形や 1 マスより大きい長方形もふくめ、大きさや位置がちがうものは別のものとして数えます。
平行な 2 本の直線 ア、イ があります。直線 ア の上には異なる 4 個の点が、直線 イ の上には異なる 5 個の点があり、点は全部で 9 個です。
この 9 個の点の中から 3 個の点を選び、それらを頂点とする三角形を作ります。三角形は全部で何個できますか。ただし、頂点の組が異なる三角形は、別の三角形として数えます。
正八角形があります。この正八角形の 個の頂点の中から 個を選び、それらを頂点とする三角形を作ります。このようにして作ることのできる三角形のうち、正八角形の辺を 本も三角形の辺として含まないものは、全部で何個ありますか。
男子 4 人と女子 3 人の合わせて 7 人の中から、3 人の委員を選びます。選ぶ 3 人の中には、男子も女子も少なくとも 1 人ずつふくまれるようにします。また、男子の 1 人である太郎さんと、女子の 1 人である花子さんの 2 人を、両方とも委員に選ぶことはしません。委員の選び方は、全部で何通りありますか。