場合の数の問題

まず、「男子も女子も少なくとも 1 人ずつ」という条件だけを考えます。

7 人から 3 人を選ぶ選び方　順番をつけて選ぶと $7\times 6\times 5=210$ 通りで、同じ 3 人の組が $3\times 2\times 1=6$ 回ずつ数えられているので、$210÷6=35$ 通りです。

3 人とも男子の選び方　男子 4 人から 3 人を選ぶのは、選ばない 1 人を決めればよいので 4 通りです。

3 人とも女子の選び方　女子は 3 人なので 1 通りです。

よって、男子も女子も少なくとも 1 人ずつふくまれる選び方は
$$35-4-1=30\text{（通り）}$$
です。

次に、この 30 通りの中から、太郎さんと花子さんを両方とも選んでいるものを除きます。太郎さんは男子、花子さんは女子なので、2 人を両方選べば男子も女子もふくまれます。残りの 1 人は、太郎さんと花子さん以外の 5 人（男子 3 人、女子 2 人）のだれでもよいので、5 通りです。

したがって、求める選び方は
$$30-5=25\text{（通り）}$$
です。

（たしかめ）男子 1 人・女子 2 人の選び方は $4\times 3=12$ 通り、男子 2 人・女子 1 人の選び方は $6\times 3=18$ 通りで、合わせて 30 通りです。このうち太郎さんと花子さんが両方入るのは、男子 1 人・女子 2 人で 2 通り、男子 2 人・女子 1 人で 3 通りの計 5 通りなので、$30-5=25$ 通りとなり、一致します。

7 人から 3 人を選ぶ選び方は $7\times 6\times 5÷(3\times 2\times 1)=35$ 通り。
男子も女子も少なくとも 1 人ずつふくむ選び方は、全部男子の選び方と全部女子の選び方を引く。男子 4 人から 3 人は 4 通り、女子 3 人から 3 人は 1 通り。$35-4-1=30$ 通り。
次に、太郎さんと花子さんの両方を選ぶ場合を引く。2 人を選んだうえで、あと 1 人を残りの 5 人から選ぶので 5 通り。この 5 通りは必ず男子も女子もふくむので、上の 30 通りにすべてふくまれる。
$30-5=25$ 通り。
検算: 男子 2 人・女子 1 人は $6\times 3=18$ 通り、男子 1 人・女子 2 人は $4\times 3=12$ 通りで合計 30 通り。このうち太郎さんと花子さんを両方ふくむのは、男子 2 人・女子 1 人では太郎さんと他の男子 1 人(3 通り)と花子さんで 3 通り、男子 1 人・女子 2 人では太郎さんと花子さんと他の女子 1 人(2 通り)で 2 通り、合わせて 5 通り。$30-5=25$ で一致する。