場合の数の問題

どの硬貨も少なくとも 1 枚は使うので、はじめに 10 円玉、50 円玉、100 円玉を 1 枚ずつ使うことにします。これで $10+50+100=160$ 円になるので、残りの
$$600-160=440\text{（円）}$$
を、3 種類の硬貨で自由に（使わない種類があってもよいとして）支払う方法を数えればよいことになります。

440 円のうち 100 円玉で払う金額で場合分けします。100 円玉は $0$ 枚から $4$ 枚まで使えます。残りの金額を 50 円玉と 10 円玉で払うとき、50 円玉の枚数を決めると、残りは 10 円の倍数なので 10 円玉の枚数は 1 通りに決まります。よって、50 円玉の枚数が何通りあるかを数えればよいです。

• 100 円玉 $0$ 枚: 残り 440 円。50 円玉は $0$ 〜 $8$ 枚の 9 通り
• 100 円玉 $1$ 枚: 残り 340 円。50 円玉は $0$ 〜 $6$ 枚の 7 通り
• 100 円玉 $2$ 枚: 残り 240 円。50 円玉は $0$ 〜 $4$ 枚の 5 通り
• 100 円玉 $3$ 枚: 残り 140 円。50 円玉は $0$ 〜 $2$ 枚の 3 通り
• 100 円玉 $4$ 枚: 残り 40 円。50 円玉は $0$ 枚の 1 通り

したがって、支払い方は
$$9+7+5+3+1=25\text{（通り）}$$
です。

600 円を 10 円玉、50 円玉、100 円玉で払います。10 円を 1 つの単位として考えると、600 円は 60 単位で、50 円玉は 5 単位、100 円玉は 10 単位、10 円玉は 1 単位です。

100 円玉の枚数で場合分けします。10 円玉と 50 円玉が少なくとも 1 枚ずつ必要なので、100 円玉は最大 5 枚です（6 枚だと 600 円になってしまい、ほかを使えない）。

・100 円玉 1 枚: 残り 500 円。50 円玉は 1〜9 枚（9 枚で 450 円、残り 50 円を 10 円玉 5 枚）。10 円玉が 0 枚になる 10 枚は除く。9 通り。
・100 円玉 2 枚: 残り 400 円。50 円玉は 1〜7 枚（8 枚だと 10 円玉が 0 枚）。7 通り。
・100 円玉 3 枚: 残り 300 円。50 円玉は 1〜5 枚。5 通り。
・100 円玉 4 枚: 残り 200 円。50 円玉は 1〜3 枚。3 通り。
・100 円玉 5 枚: 残り 100 円。50 円玉は 1 枚（残り 50 円を 10 円玉 5 枚）。1 通り。

合計 $9+7+5+3+1=25$ 通り。

検算: 100 円玉 2 枚、50 円玉 7 枚のとき $200+350=550$ 円で、10 円玉 5 枚で 600 円。条件に合います。