場合の数の問題

金額の大きい硬貨から順に枚数を決めていきます。

準備: 5 円玉と 10 円玉だけで払う方法の数

5 円玉と 10 円玉だけで払うとき、10 円玉の枚数を決めると、残りは 5 円玉で払えるので、5 円玉の枚数は 1 つに決まります。

• 50 円を払う方法: 10 円玉が 0, 1, 2, 3, 4, 5 枚の $6$ 通り
• 100 円を払う方法: 10 円玉が 0〜10 枚の $11$ 通り
• 150 円を払う方法: 10 円玉が 0〜15 枚の $16$ 通り

100 円玉 1 枚のとき（残り 50 円）

• 50 円玉 1 枚: 残り 0 円で $1$ 通り
• 50 円玉 0 枚: 残り 50 円を 5 円玉と 10 円玉で払うので $6$ 通り

合わせて $1+6=7$ (通り)

100 円玉 0 枚のとき（残り 150 円）

• 50 円玉 3 枚: 残り 0 円で $1$ 通り
• 50 円玉 2 枚: 残り 50 円で $6$ 通り
• 50 円玉 1 枚: 残り 100 円で $11$ 通り
• 50 円玉 0 枚: 残り 150 円で $16$ 通り

合わせて $1+6+11+16=34$ (通り)

合計
$$7+34=41(\text{通り})$$

よって、支払い方は全部で $41$ 通りです。

すべての硬貨を 5 円を 1 とする単位で考えます。5 円=1、10 円=2、50 円=10、100 円=20、150 円=30 です。30 を 1, 2, 10, 20 の和で表す方法を数えます。

100 円玉(20)の枚数で分けます。

100 円玉 1 枚: 残り 10 を 1, 2, 10 で表す。
- 50 円玉(10) 1 枚: 残り 0 で 1 通り。
- 50 円玉 0 枚: 残り 10 を 1 と 2 で表す。2 の個数が 0〜5 個で、残りを 1 で埋めるので 6 通り。
小計 7 通り。

100 円玉 0 枚: 30 を 1, 2, 10 で表す。50 円玉の枚数で分けます。
- 50 円玉 3 枚: 残り 0 で 1 通り。
- 50 円玉 2 枚: 残り 10 で 6 通り。
- 50 円玉 1 枚: 残り 20 を 1 と 2 で表す。2 が 0〜10 個で 11 通り。
- 50 円玉 0 枚: 残り 30 で 2 が 0〜15 個で 16 通り。
小計 1+6+11+16=34 通り。

合計 7+34=41 通り。

検算: 100 円玉 0 枚・50 円玉 0 枚のとき、10 円玉を 0〜15 枚使い、残りを 5 円玉にするので 16 通り。これは上の数え方と同じ。他の場合も、10 円玉の枚数を決めれば 5 円玉の枚数が決まるので、10 円玉の枚数の選び方を数えた結果と一致している。