場合の数の問題
10 円玉、50 円玉、100 円玉がそれぞれ十分にたくさんあります。これらの硬貨を使って、300 円をおつりが出ないようにちょうど支払います。ただし、使う硬貨の枚数は、3 種類合わせて 12 枚以下にします。また、使わない種類の硬貨があってもかまいません。
支払い方は全部で何通りありますか。ただし、使う硬貨の種類ごとの枚数の組み合わせが同じものは、同じ支払い方とします。
この問題で使うもの
- 硬貨での支払い方（説明と入口の問題）
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
100 円玉の枚数（0〜3 枚）で場合を分け、それぞれで 50 円玉の枚数を決めると、10 円玉の枚数が決まります。
ヒント 2
表を作って、それぞれの支払い方の合計枚数を書き、12 枚以下になっているかを調べましょう。
ヒント 3
100 円玉 3 枚のときは 1 通り、2 枚のときは 50 円玉 0〜2 枚の 3 通りがすべて 12 枚以下です。1 枚と 0 枚のときを調べましょう。
答えと解説
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解説を読む
金額の大きい 100 円玉の枚数で場合を分け、次に 50 円玉の枚数を決めると、10 円玉の枚数は残りの金額から決まります。表にして、合計の枚数が 12 枚以下かどうかを調べます。
100 円玉 3 枚のとき（残り 0 円）
| 50 円玉 | 10 円玉 | 合計枚数 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 3 |
12 枚以下は 1 通り。
100 円玉 2 枚のとき（残り 100 円）
| 50 円玉 | 10 円玉 | 合計枚数 |
|---|---|---|
| 0 | 10 | 12 |
| 1 | 5 | 8 |
| 2 | 0 | 4 |
12 枚以下は 3 通り。
100 円玉 1 枚のとき（残り 200 円）
| 50 円玉 | 10 円玉 | 合計枚数 |
|---|---|---|
| 0 | 20 | 21 |
| 1 | 15 | 17 |
| 2 | 10 | 13 |
| 3 | 5 | 9 |
| 4 | 0 | 5 |
12 枚以下は 2 通り（50 円玉 3 枚と 4 枚）。
100 円玉 0 枚のとき（残り 300 円）
| 50 円玉 | 10 円玉 | 合計枚数 |
|---|---|---|
| 0 | 30 | 30 |
| 1 | 25 | 26 |
| 2 | 20 | 22 |
| 3 | 15 | 18 |
| 4 | 10 | 14 |
| 5 | 5 | 10 |
| 6 | 0 | 6 |
12 枚以下は 2 通り（50 円玉 5 枚と 6 枚）。
合計
よって、支払い方は全部で 通りです。
別解
100 円玉の枚数で分けて、残りを 10 円玉と 50 円玉で払う方法を調べます(合計 12 枚以下)。
100 円玉 3 枚: 300 円ちょうど。合計 3 枚。1 通り。
100 円玉 2 枚: 残り 100 円。50 円玉 0 枚なら 10 円玉 10 枚(合計 12 枚、よい)。50 円玉 1 枚なら 10 円玉 5 枚(合計 8 枚、よい)。50 円玉 2 枚なら 10 円玉 0 枚(合計 4 枚、よい)。3 通り。
100 円玉 1 枚: 残り 200 円。50 円玉 0 枚は 10 円玉 20 枚(合計 21 枚、多すぎる)。1 枚は 10 円玉 15 枚(合計 17 枚、多すぎる)。2 枚は 10 円玉 10 枚(合計 13 枚、多すぎる)。3 枚は 10 円玉 5 枚(合計 9 枚、よい)。4 枚は 10 円玉 0 枚(合計 5 枚、よい)。2 通り。
100 円玉 0 枚: 300 円を 10 円玉と 50 円玉で。50 円玉 6 枚で合計 6 枚(よい)。50 円玉 5 枚は 10 円玉 5 枚で合計 10 枚(よい)。50 円玉 4 枚は 10 円玉 10 枚で合計 14 枚(多すぎる)。それより 50 円玉が少ないと、もっと枚数が増えるのでだめ。2 通り。
合計 1+3+2+2=8 通り。
検算: 8 通りとも金額を計算する。例えば (100円,50円,10円)=(1,3,5) は 100+150+50=300 で合計 9 枚。(0,5,5) は 250+50=300 で 10 枚。どれも 300 円で 12 枚以下になっている。