50 円玉が 2 枚、10 円玉が 5 枚、5 円玉が 4 枚あります。これらの硬貨の一部またはすべてを使って、100 円をおつりのないようにちょうど支払います。
支払い方は全部で何通りありますか。ただし、使わない種類の硬貨があってもよいものとします。また、同じ種類の硬貨は区別せず、使う硬貨の種類ごとの枚数の組が同じなら、同じ支払い方とします。
硬貨での支払い方
大きい硬貨の枚数から順に決めて表に整理し、ちょうどの金額を支払う方法の数や、支払うことのできる金額の種類の数を求められる
前提
- 樹形図で数え上げる （算数 場合の数）
説明
何種類かの硬貨を使って、ちょうどの金額を支払う方法が何通りあるかを求めます。また、持っている硬貨の一部または全部を使って支払うことのできる金額が何種類あるかも求めます。どちらも、金額の大きい硬貨の枚数から順に決めて表に整理すると、もれや重なりなく数えられます。
なぜそうしてよいのか
支払い方は、「それぞれの硬貨を何枚使うか」の組で決まります。たとえば 100 円玉 1 枚・50 円玉 1 枚の支払い方と、100 円玉 1 枚・10 円玉 5 枚の支払い方は別の支払い方です。
大きい硬貨から決めるとよい理由は、大きい硬貨の枚数を決めると、残りの金額がはっきりし、使える枚数の候補が少なくなるからです。たとえば 150 円を払うとき、100 円玉を 1 枚使うと決めれば残りは 50 円で、50 円玉は 0 枚か 1 枚しか使えません。そして最後の、いちばん小さい硬貨の枚数は、残りの金額から自動的に決まります（持っている枚数で足りなければ、その組は使えません）。こうして、大きい硬貨の枚数を多い順に書いた表をつくると、樹形図と同じようにもれも重なりもなくなります。
支払える金額の種類を数えるときは、「使う硬貨の組」の数ではなく「金額」の数を数えるので、ちがう組で同じ金額になるもの（たとえば 50 円玉 1 枚と 10 円玉 5 枚）は 1 種類と数えます。また、1 枚も使わない 0 円はふつう金額に入れません。
手順
使える硬貨の種類と、それぞれ何枚持っているかを確かめる
いちばん大きい硬貨の枚数を、使える多いほうから順に書き出す
それぞれについて残りの金額を求め、次に大きい硬貨の枚数を多い順に書き出す（これをくり返す）
いちばん小さい硬貨の枚数は残りの金額から決まるので、持っている枚数で足りるか確かめ、足りる組だけを表に残す
表の行の数を数える（支払える金額の種類を求めるときは、同じ金額になるものを 1 つにまとめて数える）
例題
100 円玉が 1 枚、50 円玉が 2 枚、10 円玉が 5 枚あります。これらの硬貨を使って、150 円をおつりのないようにちょうど支払う方法は何通りありますか。
例題の解答
手順 1: 使える硬貨は、100 円玉 1 枚、50 円玉 2 枚、10 円玉 5 枚です。
手順 2: いちばん大きい 100 円玉の枚数は、1 枚か 0 枚です。
手順 3・4: 100 円玉が 1 枚のとき、残りは 50 円です。
・50 円玉 1 枚 → 残り 0 円で 10 円玉 0 枚。使える。
・50 円玉 0 枚 → 残り 50 円で 10 円玉 5 枚。持っている 5 枚で足りるので使える。
100 円玉が 0 枚のとき、残りは 150 円です。
・50 円玉 2 枚 → 残り 50 円で 10 円玉 5 枚。使える。
・50 円玉 1 枚 → 残り 100 円で 10 円玉 10 枚が必要。5 枚しかないので使えない。
・50 円玉 0 枚 → 10 円玉 15 枚が必要。使えない。
手順 5: 表にまとめると、（100 円玉, 50 円玉, 10 円玉）の枚数は (1, 1, 0)、(1, 0, 5)、(0, 2, 5) の 3 通りです。
答え:
よくある誤り
持っている枚数をこえて硬貨を使ってしまう誤り（例: 50 円玉 1 枚と 10 円玉 10 枚の組も数えて 4 通り以上とする）。10 円玉は 5 枚しかないので、正しくは 3 通り
小さい硬貨から考えはじめて、組を数えもらしたり重ねて数えたりする誤り。大きい硬貨の枚数を多い順に決め、最後の硬貨の枚数は残りの金額から決めると、(1, 1, 0)、(1, 0, 5)、(0, 2, 5) の 3 通りがもれなく出る
支払える金額の種類を数えるのに、硬貨の組の数をそのまま答えてしまう誤り。たとえば 50 円玉 1 枚と 10 円玉 5 枚で支払える金額は、組で数えると 通りだが、50 円玉 1 枚と 10 円玉 5 枚がどちらも 50 円になるので、金額は 10 円から 100 円までの 10 種類
支払える金額の種類に、1 枚も使わない 0 円を入れてしまう誤り（例: 10 円玉 3 枚で支払える金額を 0, 10, 20, 30 円の 4 種類とする）。正しくは 10, 20, 30 円の 3 種類
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
10 円玉が 6 枚、50 円玉が 2 枚、100 円玉が 2 枚あります。これらの硬貨の一部またはすべてを使って、おつりが出ないように支払うことのできる金額は、全部で何通りありますか。ただし、0 円は数えません。
100 円玉が 2 枚、50 円玉が 4 枚、10 円玉が 10 枚あります。これらの硬貨を使って、ちょうど 250 円をおつりが出ないように支払います。支払い方は全部で何通りありますか。ただし、使わない種類の硬貨があってもよいものとし、同じ種類の硬貨は区別しません（それぞれの硬貨を何枚使うかの組み合わせが同じなら同じ支払い方とします）。
10 円玉、50 円玉、100 円玉がそれぞれ十分にたくさんあります。これらの硬貨を使って、300 円をおつりが出ないようにちょうど支払います。ただし、使う硬貨の枚数は、3 種類合わせて 12 枚以下にします。また、使わない種類の硬貨があってもかまいません。
支払い方は全部で何通りありますか。ただし、使う硬貨の種類ごとの枚数の組み合わせが同じものは、同じ支払い方とします。
5 円玉、10 円玉、50 円玉、100 円玉がそれぞれ十分にたくさんあります。これらの硬貨を使って、150 円をおつりが出ないようにちょうど支払います。
支払い方は全部で何通りありますか。ただし、使わない種類の硬貨があってもよく、使う硬貨の種類ごとの枚数の組み合わせが同じものは、同じ支払い方とします。
10 円玉、50 円玉、100 円玉がそれぞれたくさんあります。これらの硬貨を使って、ちょうど 500 円をおつりが出ないように支払います。ただし、10 円玉、50 円玉、100 円玉をそれぞれ少なくとも 1 枚は使うものとします。支払い方は全部で何通りありますか。なお、同じ種類の硬貨は区別せず、それぞれの硬貨を何枚使うかの組み合わせが同じなら同じ支払い方とします。
10 円玉、50 円玉、100 円玉がそれぞれ十分にたくさんあります。これらを使って、600 円をおつりが出ないようにちょうど支払います。ただし、10 円玉、50 円玉、100 円玉のどれも少なくとも 1 枚は使うことにします。支払い方は、全部で何通りありますか。