場合の数の問題
10 円玉、50 円玉、100 円玉がそれぞれたくさんあります。これらの硬貨を使って、ちょうど 500 円をおつりが出ないように支払います。ただし、10 円玉、50 円玉、100 円玉をそれぞれ少なくとも 1 枚は使うものとします。支払い方は全部で何通りありますか。なお、同じ種類の硬貨は区別せず、それぞれの硬貨を何枚使うかの組み合わせが同じなら同じ支払い方とします。
この問題で使うもの
- 硬貨での支払い方（説明と入口の問題）
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
100 円玉を何枚使うかで場合分けしましょう。また、10 円玉で払う合計金額にはどんな決まりがあるかを考えましょう。
ヒント 2
500 円も、100 円玉・50 円玉で払う金額も 50 の倍数なので、10 円玉で払う金額も 50 の倍数（50 円、100 円、…）になります。50 円玉も 1 枚以上使うことに注意しましょう。
ヒント 3
100 円玉 1 枚のとき、残り 400 円のうち 10 円玉で払う金額は 50 円から 350 円まで 50 円ごとにとれます。100 円玉が 2 枚、3 枚、4 枚のときも同じように数えましょう。
答えと解説
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解説を読む
10 円玉の合計金額について考えます。 500 円も、100 円玉や 50 円玉で払う金額も 50 の倍数なので、10 円玉で払う金額も 50 の倍数でなければなりません。10 円玉は少なくとも 1 枚使うので、10 円玉で払う金額は 50 円、100 円、150 円、… のどれかです。
100 円玉の枚数で場合分けします。100 円玉を 5 枚使うと残りが 0 円になり、50 円玉と 10 円玉を使えないので、100 円玉は 1 枚から 4 枚です。
100 円玉 1 枚のとき: 残りは 400 円です。50 円玉を少なくとも 1 枚使うので、10 円玉で払う金額は 400 円より 50 円以上少なく、350 円以下です。10 円玉で払う金額は 50 円、100 円、150 円、200 円、250 円、300 円、350 円の 7 通りで、そのそれぞれで 50 円玉の枚数が 1 つに決まります。→ 7 通り
100 円玉 2 枚のとき: 残りは 300 円です。10 円玉で払う金額は 50 円から 250 円までの 50 円ごとで 5 通り。→ 5 通り
100 円玉 3 枚のとき: 残りは 200 円です。10 円玉で払う金額は 50 円、100 円、150 円の 3 通り。→ 3 通り
100 円玉 4 枚のとき: 残りは 100 円です。10 円玉で払う金額は 50 円の 1 通り（50 円玉 1 枚、10 円玉 5 枚）。→ 1 通り
したがって、全部で
です。
別解
10 円玉の枚数を単位にして考える。500 円は 10 円玉 50 枚分。100 円玉 1 枚は 10 枚分、50 円玉 1 枚は 5 枚分。3 種類とも少なくとも 1 枚使う。
100 円玉の枚数で場合分けする。
(1) 100 円玉 1 枚（10 枚分）: 残りは 40 枚分。50 円玉を 1 枚から使い、残りを 10 円玉にする。50 円玉が 1〜7 枚のとき 10 円玉は 35, 30, 25, 20, 15, 10, 5 枚（1 枚以上）。50 円玉 8 枚だと 10 円玉が 0 枚で不可。→ 7 通り。
(2) 100 円玉 2 枚（20 枚分）: 残り 30 枚分。50 円玉 1〜5 枚で 10 円玉は 25, 20, 15, 10, 5 枚。→ 5 通り。
(3) 100 円玉 3 枚（30 枚分）: 残り 20 枚分。50 円玉 1〜3 枚で 10 円玉は 15, 10, 5 枚。→ 3 通り。
(4) 100 円玉 4 枚（40 枚分）: 残り 10 枚分。50 円玉 1 枚で 10 円玉 5 枚。→ 1 通り。
(5) 100 円玉 5 枚: 残り 0 で、50 円玉・10 円玉を使えない。→ 0 通り。
合計 通り。
検算: 100 円玉が 1 枚のとき、50 円玉の枚数は 1 から 7 まで、と数えたものを列挙して確かめた。たとえば 100 円玉 4 枚、50 円玉 1 枚、10 円玉 5 枚で 円。