場合の数の問題

同じ種類の硬貨は区別しないので、50 円玉・10 円玉・5 円玉をそれぞれ何枚使うかの組を数えます。いちばん大きい 50 円玉の枚数から順に決めて、表に整理します。

50 円玉が 2 枚のとき

$50+50=100$ なので、これだけで 100 円になります。10 円玉と 5 円玉は 0 枚で、1 通りです。

50 円玉が 1 枚のとき

残りの $100-50=50$ 円を、10 円玉（5 枚まで）と 5 円玉（4 枚まで）で払います。10 円玉の枚数を多い順に決めます。

• 10 円玉 5 枚: $10\times 5=50$ なので、5 円玉は 0 枚
• 10 円玉 4 枚: $50-40=10$ 円を 5 円玉 2 枚で払う
• 10 円玉 3 枚: $50-30=20$ 円を 5 円玉 4 枚で払う
• 10 円玉 2 枚: $50-20=30$ 円には 5 円玉が 6 枚いるが、4 枚しかないので払えない（10 円玉が 1 枚、0 枚のときは、5 円玉がもっとたくさんいるので、同じく払えない）

よって 3 通りです。

50 円玉が 0 枚のとき

10 円玉 5 枚と 5 円玉 4 枚をすべて使っても $50+20=70$ 円で、100 円にとどかないので、払えません。

表にまとめる

よって、答えは 4 通りです。

50 円玉の枚数で場合分けする。
・50 円玉 2 枚：$100$ 円になるので他は使わない。1 通り。
・50 円玉 1 枚：残り 50 円を 10 円玉（5 枚まで）と 5 円玉（4 枚まで）で払う。10 円玉 5 枚＋5 円玉 0 枚、10 円玉 4 枚＋5 円玉 2 枚、10 円玉 3 枚＋5 円玉 4 枚の 3 通り（10 円玉 2 枚だと 5 円玉は 6 枚必要で足りない）。3 通り。
・50 円玉 0 枚：10 円玉 5 枚と 5 円玉 4 枚の最大は $50+20=70$ 円で 100 円に足りない。0 通り。
合計 $1+3+0=4$ 通り。
確かめ：(50,50)、(50,10×5)、(50,10×4,5×2)、(50,10×3,5×4) のどれも 100 円。