場合の数の問題

50 円玉と 100 円玉だけで作れる金額

50 円玉 2 枚では 0 円、50 円、100 円が作れ、100 円玉 2 枚では 0 円、100 円、200 円が作れます。これらを組み合わせると
$$0,50,100,150,200,250,300\text{（円）}$$
の 7 通りの金額が作れます（たとえば 250 円は 50 円玉 1 枚と 100 円玉 2 枚、300 円は 50 円玉 2 枚と 100 円玉 2 枚）。

10 円玉を加える

10 円玉 6 枚では 0 円から 60 円まで 10 円きざみの金額が作れます。50 円玉と 100 円玉で作った金額に 0 円〜60 円を加えると、50 円ごとの金額のすき間（10 円, 20 円, 30 円, 40 円）がすべてうまり、さらに 50 円玉 1 枚の代わりに 10 円玉 5 枚を使うことで重なりも出ます。

いちばん大きい金額は $300+60=360$（円）です。0 円から 360 円までの 10 円きざみの金額がすべて作れるかを確かめます。
- 0 円〜340 円の金額は、50 円の倍数の部分を 300 円以下の 50 円の倍数（上の 7 通りのどれか）で、残りの 0 円〜40 円を 10 円玉で作れます。
- 350 円は 300 円と 10 円玉 5 枚、360 円は 300 円と 10 円玉 6 枚で作れます。

よって、10 円から 360 円までの 10 円きざみの金額はすべて支払えます。その個数は
$$360÷10=36\text{（通り）}$$

注意: 「$50$ 円・$100$ 円の 7 通り」×「10 円玉の 7 通り」$=49$ 通りから 0 円の 1 通りをひいた 48 通り、としてはいけません。たとえば 50 円は「50 円玉 1 枚」でも「10 円玉 5 枚」でも作れ、同じ金額を 2 回数えてしまうからです。

したがって、答えは 36 通りです。

10 円を単位として考えると、10 円玉は 1 が 6 枚、50 円玉は 5 が 2 枚、100 円玉は 10 が 2 枚です。

50 円玉と 100 円玉だけで作れる金額（10 円単位）は、5 の何倍かで、5×(0 から 6)＝0, 5, 10, 15, 20, 25, 30 です（50 円玉 0〜2 枚と 100 円玉 0〜2 枚で、50 円の個数に換算して 0, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6 個分ができ、0 から 6 までのすべてが作れる）。

これに 10 円玉 0〜6 枚（0〜6）を加えます。5 ずつ飛ぶ金額のすきまは 4 以下なので、10 円玉 0〜6 枚でちょうどうまり、0 から 36 までのすべての整数（10 円単位）が作れます。最大は 6+10+20=36（360 円）。

0 円を除くと 1 から 36 の 36 通り。

確かめ: 例えば 10 円単位の 29 は 25+4（50 円玉 1 枚＋100 円玉 2 枚＋10 円玉 4 枚）、35 は 30+5…ではなく 30+（10 円玉 5 枚）で作れる。最大の 36 の次は作れないので 37 以上はありません。