場合の数の問題
100 円玉が 2 枚、50 円玉が 4 枚、10 円玉が 10 枚あります。これらの硬貨を使って、ちょうど 250 円をおつりが出ないように支払います。支払い方は全部で何通りありますか。ただし、使わない種類の硬貨があってもよいものとし、同じ種類の硬貨は区別しません（それぞれの硬貨を何枚使うかの組み合わせが同じなら同じ支払い方とします）。
この問題で使うもの
- 硬貨での支払い方（説明と入口の問題）
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
100 円玉を何枚使うか（2 枚、1 枚、0 枚）で場合分けして、残りの金額を 50 円玉と 10 円玉で払う方法を数えましょう。
ヒント 2
残りの金額に対して、50 円玉を多く使う方から順に考えると数えもれがありません。10 円玉は 10 枚まで、つまり 100 円分までしか使えないことに注意しましょう。
ヒント 3
100 円玉 2 枚のとき残りは 50 円で 2 通り、100 円玉 1 枚のとき残りは 150 円です。150 円の払い方のうち、10 円玉が 11 枚以上必要になるものは除きます。
答えと解説
答えを見る
どこでつまずきましたか？（選ぶと、戻る場所を案内します）
解説を読む
金額の大きい 100 円玉を何枚使うかで分けて考えます。
100 円玉を 2 枚使うとき（200 円）: 残りは 50 円です。
- 50 円玉 1 枚、10 円玉 0 枚
- 50 円玉 0 枚、10 円玉 5 枚
の 2 通りです。
100 円玉を 1 枚使うとき（100 円）: 残りは 150 円です。
- 50 円玉 3 枚、10 円玉 0 枚
- 50 円玉 2 枚、10 円玉 5 枚
- 50 円玉 1 枚、10 円玉 10 枚
- 50 円玉 0 枚だと 10 円玉が 15 枚必要ですが、10 円玉は 10 枚しかないのでできません。
の 3 通りです。
100 円玉を使わないとき: 250 円を 50 円玉と 10 円玉で払います。
- 50 円玉 4 枚（200 円）、10 円玉 5 枚
- 50 円玉 3 枚（150 円）、10 円玉 10 枚
- 50 円玉 2 枚以下だと、10 円玉が 15 枚以上必要になるのでできません。
の 2 通りです。
したがって、全部で
です。
別解
250 円を 10 円玉の枚数を単位に直すと 25 枚分。100 円玉は 10 枚分、50 円玉は 5 枚分、10 円玉は 1 枚分と考える。
100 円玉を使う枚数で場合分けする。
(1) 100 円玉 0 枚: 残り 250 円を 50 円玉（最大 4 枚）と 10 円玉（最大 10 枚）で。50 円玉 4 枚なら 50 円残り、10 円玉 5 枚。50 円玉 3 枚なら 100 円残り、10 円玉 10 枚。50 円玉 2 枚以下だと 10 円玉が 11 枚以上必要で不可。→ 2 通り。
(2) 100 円玉 1 枚: 残り 150 円。50 円玉 3 枚なら 10 円玉 0 枚。2 枚なら 10 円玉 5 枚。1 枚なら 10 円玉 10 枚。0 枚なら 15 枚必要で不可。→ 3 通り。
(3) 100 円玉 2 枚: 残り 50 円。50 円玉 1 枚なら 10 円玉 0 枚。50 円玉 0 枚なら 10 円玉 5 枚。→ 2 通り。
合計 通り。
検算: 一覧にすると (100,50,10 の枚数) は (0,4,5),(0,3,10),(1,3,0),(1,2,5),(1,1,10),(2,1,0),(2,0,5)。どれも 250 円で、枚数の制限内。7 通り。