場合の数の問題

まず、正方形もふくめた長方形全部の個数を求め、そこから正方形の個数を引きます。

長方形全部の個数

方眼の線でできる長方形は、「上の辺と下の辺になる横の線 2 本」と「左の辺と右の辺になるたての線 2 本」を選ぶと、1 つに決まります。

横の線 4 本から 2 本を選ぶ選び方は、1 本目が 4 通り、2 本目が 3 通りで $4\times 3=12$ 通りですが、選ぶ順番を考えないので 2 でわって
$$4\times 3÷2=6(\text{通り})$$

たての線 6 本から 2 本を選ぶ選び方は、同じように
$$6\times 5÷2=15(\text{通り})$$

よって、長方形は全部で
$$6\times 15=90(\text{個})$$

正方形の個数

たてが 3 cm なので、正方形の 1 辺は 1 cm、2 cm、3 cm のどれかです。

• 1 辺 1 cm: 横に 5 個、たてに 3 個の位置があるので $5\times 3=15$ (個)
• 1 辺 2 cm: 横に $5-1=4$ 個、たてに $3-1=2$ 個の位置があるので $4\times 2=8$ (個)
• 1 辺 3 cm: 横に $5-2=3$ 個、たてに $3-2=1$ 個の位置があるので $3\times 1=3$ (個)

正方形は合わせて $15+8+3=26$ (個) です。

正方形でない長方形の個数
$$90-26=64(\text{個})$$

よって、答えは $64$ 個です。

長方形は、横の線 4 本から 2 本、たての線 6 本から 2 本を選ぶと 1 つ決まります。

横の線の選び方: 4×3÷2=6 通り。たての線の選び方: 6×5÷2=15 通り。長方形は全部で 6×15=90 個(正方形もふくむ)。

正方形の数を大きさ別に数えます。
- 1 辺 1 cm: 横に 5 か所、たてに 3 か所で 5×3=15 個
- 1 辺 2 cm: 横に 4 か所、たてに 2 か所で 4×2=8 個
- 1 辺 3 cm: 横に 3 か所、たてに 1 か所で 3×1=3 個
(たてが 3 cm なので 4 cm 以上の正方形はできません。)
正方形は 15+8+3=26 個。

正方形でない長方形は 90-26=64 個。

検算: たて 1 cm の長方形は横の長さ 1〜5 cm で 5+4+3+2+1=15 個、たて 2 cm は 2 か所×15÷... 横の置き方 15 通り×たての置き方 2 通り=30 個、たて 3 cm は 15×1=15 個。合計 15×3 の置き方で 15×(3+2+1)=90 個で一致。