場合の数の問題
横に 3 個、たてに 2 個、同じ大きさの正方形のマスをすき間なく並べて、横長の長方形を作りました。上の段のマスを左から順に A, B, C、下の段のマスを左から順に D, E, F とします（A の真下が D、B の真下が E、C の真下が F です）。赤、青、黄の 3 色を使って、6 個のマスをそれぞれ 1 色でぬります。辺で接しているマスどうしは、ちがう色でぬることにします。使わない色があってもかまいません。ぬり方は、全部で何通りありますか。
この問題で使うもの
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
たての 1 列（上下 2 マス）をひとまとまりとして、左の列から順に色を決めていきましょう。
ヒント 2
となりの列の上下のマスが「色 ア・色 イ」のとき、次の列の上のマスは ア 以外、下のマスは イ 以外で、しかも上と下はちがう色でなければなりません。
ヒント 3
左の列のぬり方は 通りです。次の列の上のマスが イ のときと、残りの色 ウ のときに分けて、下のマスの色が何通りあるか数えてみましょう。
答えと解説
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解説を読む
辺で接しているマスの組は、A と B、B と C、D と E、E と F（横どうし）、A と D、B と E、C と F（たてどうし）です。
たての 1 列（上と下の 2 マス）ごとに考えます。
左の列（A と D） A は 3 通り、D は A とちがう色で 2 通りなので、 通りです。
まん中の列（B と E） 左の列で A を色 ア、D を色 イ にぬったとし、残りの 1 色を色 ウ とします。B は A とちがうので イ か ウ、E は D とちがうので ア か ウ です。さらに B と E はちがう色にしなければなりません。
- B が イ のとき、E は ア か ウ の 2 通り
- B が ウ のとき、E は ア の 1 通り（ウ は B と同じなのでだめ）
よって、左の列の色がどうであっても、まん中の列のぬり方は 通りです。
右の列（C と F） まん中の列との関係は、まん中の列と左の列の関係と同じなので、同じように 3 通りです。
したがって、ぬり方は全部で
です。
別解
左の列（A と D）、真ん中の列（B と E）、右の列（C と F）の順にぬる。
左の列: A は 3 通り、D は A と違う色で 2 通り。 通り。
次の列: 前の列の上の色と下の色を、たとえば 赤・青 とする。残りの色は黄。次の列の上は赤以外（青か黄）、下は青以外（赤か黄）で、上と下が違う色になるものを数える。（青,赤）、（青,黄）、（黄,赤）の 3 通りで、（黄,黄）は上下が同じ色なので不可。どの場合も 3 通り。
真ん中の列は 3 通り、右の列も 3 通り。
合計 通り。
検算: 上の段 A, B, C だけを見ると、となり合う色が違うぬり方は 通り。下の段 D, E, F は、それぞれ真上と違い、かつ下の段のとなりとも違う。A, B, C が 赤,青,赤 の型（両端が同じ）のとき、D は赤以外 2 通り、E は青以外で D と違う、F は赤以外で E と違う。数えると 2 色の型（赤青赤）では 5 通り、3 色の型（赤青黄）では 4 通り。両端が同じ型は 個、違う型は 個なので 。一致する。