場合の数の問題
大きな円の内側に、中心が同じ小さな円をかきました。小さな円の内側の部分を ア とします。2 つの円のあいだのドーナツ形の部分は、大きな円の中心から出る 4 本の線（大きな円と小さな円のあいだだけに引く）で 4 つの部分に分け、時計回りに順に イ、ウ、エ、オ とします。
- ア は、イ、ウ、エ、オ のどれとも、小さな円の線をはさんでとなり合っています。
- イ と ウ、ウ と エ、エ と オ、オ と イ は、それぞれ線をはさんでとなり合っています。
- イ と エ、ウ と オ はとなり合っていません。
この 5 つの部分を、赤・青・黄・緑の 4 色を使ってぬります。となり合う部分は必ずちがう色でぬり、4 色はどれも少なくとも 1 回は使います。同じ色を 2 回以上使ってもかまいません。
ぬり方は全部で何通りありますか。ただし、回したり裏返したりして同じになるぬり方も、別のぬり方として数えます。
この問題で使うもの
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
ア はほかのすべての部分ととなり合っています。まず ア の色を決めると、イ〜オ に使える色は何色になるか考えましょう。
ヒント 2
イ〜オ は、ア 以外の 3 色だけでぬり、しかもその 3 色をすべて使う必要があります。となり合っていない イ と エ が同じ色かちがう色かで場合を分けましょう。
ヒント 3
イ と エ が同じ色のとき、ウ と オ はちがう色にしないと 3 色そろいません。イ と エ がちがう色のときは、ウ と オ の色が 1 つに決まります。
答えと解説
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解説を読む
ア の色
ア は 4 色のどれでもよいので 通りです。
ア は イ、ウ、エ、オ のすべてととなり合っているので、イ、ウ、エ、オ には ア の色は使えません。イ〜オ は残りの 3 色だけでぬります。さらに、4 色すべてを使うので、イ〜オ で残りの 3 色をすべて使わなければなりません。
イ〜オ のぬり方（ア の色を決めたあと、残りの 3 色を使う）
となり合っていない イ と エ が同じ色か、ちがう色かで分けます。
(1) イ と エ が同じ色のとき
- イ の色: 3 通り
- エ の色: イ と同じなので 1 通り
- ウ と オ は、どちらも イ（= エ）とちがう色なので、それぞれ残りの 2 色から選びます。ただし、3 色すべてを使うためには、ウ と オ がちがう色でなければなりません。ウ が 2 通り、オ はウ と別の 1 通りです。
(2) イ と エ がちがう色のとき
- イ の色: 3 通り
- エ の色: イ とちがう色なので 2 通り
- ウ と オ は、イ とも エ ともちがう色なので、どちらも残りの 1 色に決まります（1 通りずつ）。このとき 3 色すべてを使っています。
イ〜オ のぬり方は (通り) です。
合計
よって、ぬり方は全部で 通りです。
別解
ア は イ・ウ・エ・オ のすべてととなり合っているので、ア の色は他の 4 つの部分では使えません。4 色すべて使うので、ア の色は 1 つだけの部分で使い、イ〜オ は残りの 3 色をすべて使います。
ア の色の決め方は 4 通り。
イ・ウ・エ・オ は輪になっていて、イ-ウ-エ-オ-イ の順にとなり合います。これを残りの 3 色で、となり合うものはちがう色に、3 色すべて使ってぬる数を数えます。
まず 3 色でとなり合うものがちがう色になるぬり方: イ と エ が同じ色か、ちがう色かで分けます。
- イ と エ が同じ色: イ 3 通り、エ は同じ 1 通り、ウ は 2 通り、オ は 2 通りで 3×2×2=12 通り。
- イ と エ がちがう色: イ 3 通り、エ 2 通り、ウ は イ ともエ ともちがうので 1 通り、オ も 1 通りで 3×2=6 通り。
合計 18 通り。
このうち、2 色しか使わないぬり方は、2 色の選び方 3 通り×交互にぬる 2 通り=6 通り。1 色だけのぬり方はありません。よって 3 色すべて使うぬり方は 18-6=12 通り。
全部で 4×12=48 通り。
検算: 3 色すべて使うとき、同じ色が 2 回ずつ出る必要はなく、4 つの部分に 3 色なので同じ色がちょうど 1 色だけ 2 回出ます。その 2 つは向かい合う部分(イとエ、またはウとオ)。向かい合う組 2 通り×その色 3 通り×残り 2 つの部分に残り 2 色を並べる 2 通り=12 通り。一致。