場合の数の問題
1 つの長方形を、横に引いた 1 本の線で上下 2 つの部分に分けます。上の部分を E とします。下の部分は、たてに引いた 3 本の線で左から順に A, B, C, D の 4 つの部分に分けます。E は A, B, C, D のどれとも辺で接していて、A と B、B と C、C と D はそれぞれ辺で接しています。それ以外の組（A と C、A と D、B と D）は接していません。
この 5 つの部分を、赤・青・黄・緑の 4 色のうちのいくつかを使ってぬり分けます。辺で接している部分どうしは異なる色でぬり、同じ色を何回使ってもよく、使わない色があってもかまいません。ぬり方は全部で何通りありますか。
この問題で使うもの
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
いちばん多くの部分と接している E から色を決めると考えやすくなります。
ヒント 2
E の色を決めると、A, B, C, D には E の色が使えないので、残りの 3 色でぬることになります。
ヒント 3
A は 3 通り、B は A とちがう色で 2 通りです。C は B とだけ、D は C とだけ色がちがえばよいことに注意して、続きを数えましょう。
答えと解説
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解説を読む
多くの部分と接している E から先に色を決めます。
E の色: 4 色のどれでもよいので 4 通りです。
A, B, C, D の色: A, B, C, D はすべて E と接しているので、E の色は使えません。残りの 3 色でぬります。
- A: 3 色のどれでもよいので 3 通り
- B: A と接しているので、A の色以外の 2 通り
- C: B と接しているので、B の色以外の 2 通り（A とは接していないので、A と同じ色でもかまいません）
- D: C と接しているので、C の色以外の 2 通り
よって、A, B, C, D のぬり方は
全体: E の色 1 通りごとに 24 通りあるので
したがって、ぬり方は全部で 96 通りです。
別解
E は A, B, C, D のすべてと接しているので、まず E の色を 4 通りから選びます。
A, B, C, D は E と同じ色にできないので、残りの 3 色だけを使います。A, B, C, D は A-B-C-D と順に隣どうしだけが接しているので、A は 3 通り、B は A と違う色で 2 通り、C は B と違う色で 2 通り、D は C と違う色で 2 通りです。
通り。
よって全部で 通り。
確かめ: E を赤に決めると、残り 3 色（青・黄・緑）で A から順に 3, 2, 2, 2 通りなので 24 通り。E の色は 4 色あり、どれも同じ数になるので 24×4=96。