長方形の紙が、たての 2 本の線で、左から順に ア、イ、ウ の 3 つの部分に分けられています。ア と イ、イ と ウ はそれぞれ線をはさんでとなり合っていますが、ア と ウ はとなり合っていません。
この 3 つの部分を、赤・青・黄・緑の 4 色のうちの何色かを使ってぬり分けます。1 つの部分は 1 色でぬり、となり合う部分は異なる色でぬります。となり合っていない部分は同じ色でぬってもかまいません。
ぬり分け方は全部で何通りありますか。
色のぬり分け
となりと接する部分が多いところから順に色を決め、積の法則を使ってぬり分け方の数を求められる（同じ色を使う場合と使わない場合に分ける考え方をふくむ）
前提
- 積の法則と和の法則 （算数 場合の数）
この技能までの道筋（2 技能）
説明
いくつかの部分に分かれた図形を、となりあう（辺で接する）部分がちがう色になるようにぬるとき、ぬり分け方が何通りあるかを求めます。接している部分が多いところから順に色を決めていき、それぞれで使える色の数をかけ算（積の法則）して求めます。決める順番によって使える色の数が変わってしまうところでは、「同じ色の場合」と「ちがう色の場合」に分けてたし算します。
なぜそうしてよいのか
ぬり分けでは、ある部分に使える色の数は、「すでに色を決めた、となりの部分の色」をのぞいた数になります。積の法則を使うには、どの枝（どの色の決め方）でも、次に使える色の数が同じになっている必要があります。
接している部分が多いところから決めるのはそのためです。たとえば多くの部分と接する部分を最初にぬっておくと、ほかの部分を決めるときに「どの色をのぞけばよいか」がはっきりし、使える色の数が枝によって変わりにくくなります。
それでも、あとから決める部分が、すでに色を決めた 2 つ以上の部分と接していて、しかもその 2 つどうしは接していない（同じ色にしてもよい）ときは、その 2 つが同じ色かちがう色かで、のぞく色の数が 1 つか 2 つかが変わります。このときは「同じ色の場合」と「ちがう色の場合」に分け、それぞれ積の法則で数えて、最後にたし算（和の法則）します。2 つの場合は重ならないので、たしてよいのです。
手順
それぞれの部分が、どの部分と接しているかを書き出す
接している部分の数が多いところから順に、色を決める順番を決める
決める順に、「使える色の数 − すでに決めた、となりの部分の色の数」で、その部分に使える色の数を書く
使える色の数が前の決め方によって変わるところがあれば、「同じ色の場合」と「ちがう色の場合」に分ける
書いた数をかけ算し（場合を分けたときは、それぞれの結果をたし算し）、ぬり分け方の数を求める
例題
長方形を、たての線で左から順に ア、イ、ウ、エ の 4 つの部分に分けました。となりあう ア と イ、イ と ウ、ウ と エ はそれぞれ辺で接していて、ほかの組は接していません。赤・青・黄の 3 色を使って、接している部分がちがう色になるようにぬります。同じ色を何回使ってもよく、使わない色があってもよいとします。ぬり分け方は全部で何通りありますか。
例題の解答
手順 1: ア は イ と、イ は ア・ウ と、ウ は イ・エ と、エ は ウ と接しています。
手順 2: 接している部分が 2 つある イ から決め、次に ア、ウ、エ の順に決めます。
手順 3: イ は 3 色のどれでもよいので 3 通りです。ア は イ の色以外で 2 通り、ウ も イ の色以外で 2 通り、エ は ウ の色以外で 2 通りです。
手順 4: どの決め方でも、ア・ウ・エ にのぞく色は 1 つだけなので、場合を分ける必要はありません。
手順 5: 積の法則より、 通りです。
答え:
よくある誤り
接していない部分どうしもちがう色にしなければならないとしてしまう誤り（例: ア と ウ も別の色にして 通りとする）。同じ色を何回使ってもよいので、接していない ア と ウ は同じ色でもよく、正しくは 24 通り
2 つの部分と接する部分で、のぞく色をいつも 2 つとしてしまう誤り。たとえばまん中の部分のまわりを上・右・下・左の 4 つの部分が囲み、となりあう 2 つが接している図形を 4 色でぬるとき、まん中 4 通りのあと、残り 3 色で上 3 通り、右 2 通り、下 2 通り、左 1 通りとして 通りとするのは誤り。左は上と下が同じ色なら 2 通り、ちがう色なら 1 通りになる
上の誤りで、場合を分けずにまちがえるのを防ぐには、上と下が同じ色の場合（上 3 × 下 1 × 右 2 × 左 2 = 12 通り）とちがう色の場合（上 3 × 下 2 × 右 1 × 左 1 = 6 通り）に分けてたす。まん中の 4 通りとかけて、正しくは 通り
接している部分が少ないはしの部分から決めてしまい、使える色の数が枝によって変わることに気づかない誤り。接している部分が多いところから順に決めると、のぞく色がはっきりする
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
1 本の細長い旗を、たての線で 4 つの部分に分け、左から順に A, B, C, D とします。となり合う部分は A と B、B と C、C と D だけです。赤、白、青の 3 色を使って、4 つの部分をそれぞれ 1 色でぬります。となり合う部分はちがう色でぬることにし、使わない色があってもかまいません。ぬり方は、全部で何通りありますか。
正方形を、たての線 1 本と横の線 1 本で、同じ大きさの 4 つの小さな正方形に分けます。左上の部分を A、右上の部分を B、右下の部分を C、左下の部分を D とします。A と B、B と C、C と D、D と A はそれぞれ辺で接していて、A と C、B と D は 1 点で接しているだけです。この 4 つの部分を、赤・青・黄の 3 色のうちのどれか 1 色でぬります。辺で接している部分どうしは異なる色でぬり、1 点で接しているだけの部分どうしは同じ色でも異なる色でもよいものとします。同じ色を何回使ってもよく、使わない色があってもよいとき、ぬり方は全部で何通りありますか。
正方形の紙に 2 本の対角線を引いて、4 つの三角形の部分に分けました。正方形の上の辺をふくむ部分を ア、右の辺をふくむ部分を イ、下の辺をふくむ部分を ウ、左の辺をふくむ部分を エ とします。
ア と イ、イ と ウ、ウ と エ、エ と ア は、それぞれ対角線をはさんでとなり合っています。ア と ウ、イ と エ は、正方形の中心の 1 点でだけ接していて、となり合っているとは考えません。
この 4 つの部分を、赤・青・黄の 3 色のうちのどれかでぬります。となり合う部分は必ずちがう色でぬります。また、同じ色を何回使ってもよく、使わない色があってもかまいません。
ぬり方は全部で何通りありますか。ただし、紙を回したり裏返したりして同じになるぬり方も、別のぬり方として数えます。
1 つの長方形を、横に引いた 1 本の線で上下 2 つの部分に分けます。上の部分を E とします。下の部分は、たてに引いた 3 本の線で左から順に A, B, C, D の 4 つの部分に分けます。E は A, B, C, D のどれとも辺で接していて、A と B、B と C、C と D はそれぞれ辺で接しています。それ以外の組（A と C、A と D、B と D）は接していません。
この 5 つの部分を、赤・青・黄・緑の 4 色のうちのいくつかを使ってぬり分けます。辺で接している部分どうしは異なる色でぬり、同じ色を何回使ってもよく、使わない色があってもかまいません。ぬり方は全部で何通りありますか。
正方形を、たてと横に 1 本ずつ引いた線で、同じ大きさの 4 つの小さな正方形に分けます。左上の部分を A、右上の部分を B、右下の部分を C、左下の部分を D とします。A と B、B と C、C と D、D と A はそれぞれ辺で接していて、A と C、B と D は 1 つの点でしか接していません。
赤、青、黄、緑の 4 色の中から色を選んで A, B, C, D の 4 つの部分をぬります。辺で接している部分どうしは異なる色でぬり、1 つの点でしか接していない部分どうしは同じ色でも異なる色でもかまいません。使わない色があってもよいものとします。ぬり方は全部で何通りありますか。ただし、正方形を回転したり裏返したりして同じになるぬり方も、別のぬり方として数えます。
横に 3 個、たてに 2 個、同じ大きさの正方形のマスをすき間なく並べて、横長の長方形を作りました。上の段のマスを左から順に A, B, C、下の段のマスを左から順に D, E, F とします（A の真下が D、B の真下が E、C の真下が F です）。赤、青、黄の 3 色を使って、6 個のマスをそれぞれ 1 色でぬります。辺で接しているマスどうしは、ちがう色でぬることにします。使わない色があってもかまいません。ぬり方は、全部で何通りありますか。
大きな円の内側に、中心が同じ小さな円をかきました。小さな円の内側の部分を ア とします。2 つの円のあいだのドーナツ形の部分は、大きな円の中心から出る 4 本の線（大きな円と小さな円のあいだだけに引く）で 4 つの部分に分け、時計回りに順に イ、ウ、エ、オ とします。
- ア は、イ、ウ、エ、オ のどれとも、小さな円の線をはさんでとなり合っています。
- イ と ウ、ウ と エ、エ と オ、オ と イ は、それぞれ線をはさんでとなり合っています。
- イ と エ、ウ と オ はとなり合っていません。
この 5 つの部分を、赤・青・黄・緑の 4 色を使ってぬります。となり合う部分は必ずちがう色でぬり、4 色はどれも少なくとも 1 回は使います。同じ色を 2 回以上使ってもかまいません。
ぬり方は全部で何通りありますか。ただし、回したり裏返したりして同じになるぬり方も、別のぬり方として数えます。