場合の数の問題
正方形の紙に 2 本の対角線を引いて、4 つの三角形の部分に分けました。正方形の上の辺をふくむ部分を ア、右の辺をふくむ部分を イ、下の辺をふくむ部分を ウ、左の辺をふくむ部分を エ とします。
ア と イ、イ と ウ、ウ と エ、エ と ア は、それぞれ対角線をはさんでとなり合っています。ア と ウ、イ と エ は、正方形の中心の 1 点でだけ接していて、となり合っているとは考えません。
この 4 つの部分を、赤・青・黄の 3 色のうちのどれかでぬります。となり合う部分は必ずちがう色でぬります。また、同じ色を何回使ってもよく、使わない色があってもかまいません。
ぬり方は全部で何通りありますか。ただし、紙を回したり裏返したりして同じになるぬり方も、別のぬり方として数えます。
この問題で使うもの
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
となり合っていない ア と ウ が「同じ色」か「ちがう色」かで、場合を分けて考えましょう。
ヒント 2
イ と エ は、どちらも ア と ウ の両方にとなり合っています。ア と ウ が同じ色なら 2 色から、ちがう色なら残りの 1 色から選ぶことになります。
ヒント 3
ア と ウ が同じ色のときは 3 × 1 × 2 × 2 通りです。ちがう色のときも同じように数えましょう。
答えと解説
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解説を読む
ア と ウ はとなり合っていないので、同じ色でもちがう色でもかまいません。そこで、「ア と ウ が同じ色のとき」と「ア と ウ がちがう色のとき」に分けて数えます。
(1) ア と ウ が同じ色のとき
- ア の色: 3 通り
- ウ の色: ア と同じなので 1 通り
- イ の色: ア（= ウ）とちがう色なので 2 通り
- エ の色: ア（= ウ）とちがう色なので 2 通り（イ とはとなり合っていないので、イ と同じでもよい）
(2) ア と ウ がちがう色のとき
- ア の色: 3 通り
- ウ の色: ア とちがう色なので 2 通り
- イ の色: ア とも ウ ともちがう、残りの 1 色なので 1 通り
- エ の色: ア とも ウ ともちがう、残りの 1 色なので 1 通り
合計
よって、ぬり方は全部で 通りです。
別解
ア・イ・ウ・エ は輪のようにつながっていて、ア-イ-ウ-エ-ア の順にとなり合っています。ア と ウ、イ と エ はとなり合いません。
ア・ウが同じ色か、ちがう色かで分けます。
(1) ア と ウ が同じ色のとき: ア の色は 3 通り、ウ は ア と同じ色の 1 通り。イ は ア とちがう色なので 2 通り。エ も ア とちがう色なので 2 通り(イ と エ はとなり合わないので同じ色でもよい)。3×2×2=12 通り。
(2) ア と ウ がちがう色のとき: ア は 3 通り、ウ は ア とちがう 2 通り。イ は ア とも ウ ともちがう色で、残りの 1 色の 1 通り。エ も同じく 1 通り。3×2×1×1=6 通り。
合計 12+6=18 通り。
検算: 色を 2 色だけ使うぬり方は、色の選び方 3 通り×交互にぬる 2 通り=6 通り。3 色使うぬり方は (2) の 6 通りと (1) のうちイ・エがちがう色の 3×2×1=6 通りの合計 12 通り。6+12=18 通りで一致。