場合の数の問題
正方形を、たてと横に 1 本ずつ引いた線で、同じ大きさの 4 つの小さな正方形に分けます。左上の部分を A、右上の部分を B、右下の部分を C、左下の部分を D とします。A と B、B と C、C と D、D と A はそれぞれ辺で接していて、A と C、B と D は 1 つの点でしか接していません。
赤、青、黄、緑の 4 色の中から色を選んで A, B, C, D の 4 つの部分をぬります。辺で接している部分どうしは異なる色でぬり、1 つの点でしか接していない部分どうしは同じ色でも異なる色でもかまいません。使わない色があってもよいものとします。ぬり方は全部で何通りありますか。ただし、正方形を回転したり裏返したりして同じになるぬり方も、別のぬり方として数えます。
この問題で使うもの
ヒント
行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。
ヒント 1
B と D は、どちらも A と C の両方に接しています。そこで、A と C が同じ色かどうかで場合分けしてみましょう。
ヒント 2
A と C が同じ色なら、B と D はその 1 色だけをさければよいです。A と C が異なる色なら、B と D はその 2 色をさける必要があります。
ヒント 3
A と C が同じ色のときは 通りです。A と C が異なる色のときの数も同じように計算して、たしましょう。
答えと解説
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解説を読む
点でしか接していない A と C が 同じ色か、異なる色か で分けて考えます。
A と C が同じ色のとき
- A の色は 4 色から選ぶので 4 通り。C は A と同じ色なので 1 通り。
- B は A（＝C）と接しているので、A の色以外の 3 通り。
- D も A（＝C）と接しているので、A の色以外の 3 通り。B と D は点でしか接していないので、同じ色でもかまいません。
よって 通り。
A と C が異なる色のとき
- A の色は 4 通り。C は A と異なる色なので 3 通り。
- B は A とも C とも接しているので、その 2 色以外の 2 通り。
- D も A とも C とも接しているので、2 通り。
よって 通り。
したがって、全部で
です。
別解
A, B, C, D の順にぬっていく。A と C は同じ色でも違う色でもよい。
A と C が同じ色の場合: A は 4 通り、C は A と同じ色の 1 通り。B は A と異なる色なので 3 通り、D も A と異なる色なので 3 通り。B と D は接していないので自由。 通り。
A と C が違う色の場合: A は 4 通り、C は A と異なる 3 通り。B は A とも C とも異なる色なので 通り、D も同じく 2 通り。 通り。
合計 通り。
検算: B と D を先に決める方法。B と D が同じ色なら 通り（B 4 通り、D 同色）、A と C はその色以外の 3 色から自由なので 、。B と D が違う色なら 通り、A と C は B とも D とも異なる 2 色から自由なので 、。合計 84 通りで一致する。