場合の数の問題

$1$ から $8$ までの数を、$3$ でわったあまりでグループに分けます。

• あまり $0$ のグループ: $3$, $6$（2 枚）
• あまり $1$ のグループ: $1$, $4$, $7$（3 枚）
• あまり $2$ のグループ: $2$, $5$, $8$（3 枚）

3 つの数の和が $3$ の倍数になるのは、3 つの数のあまりの和が $3$ の倍数（$0$, $3$, $6$）になるときです。あまりの組み合わせとしては、次の 2 つの場合しかありません。

(1) 3 枚とも同じグループから選ぶ場合

あまりがすべて $0$ のとき、あまり $0$ のグループは 2 枚しかないので選べません。

あまりがすべて $1$ のとき、$1$, $4$, $7$ の 3 枚をすべて選ぶしかないので 1 通りです（和は $12$）。

あまりがすべて $2$ のとき、$2$, $5$, $8$ の 3 枚をすべて選ぶしかないので 1 通りです（和は $15$）。

よって、この場合は $1+1=2$（通り）です。

(2) 3 つのグループから 1 枚ずつ選ぶ場合

あまりの和は $0+1+2=3$ なので、和は $3$ の倍数になります。

あまり $0$ のグループから 2 通り、あまり $1$ のグループから 3 通り、あまり $2$ のグループから 3 通りの選び方があるので
$$2\times 3\times 3=18\text{（通り）}$$
です。

なお、あまりが「$0$, $0$, $1$」「$1$, $1$, $2$」のような組み合わせでは、あまりの和が $3$ の倍数にならないので、和も $3$ の倍数になりません。

以上より、求める選び方は
$$2+18=20\text{（通り）}$$
です。

$1$ から $8$ を $3$ でわったあまりで分けます。

・あまり $0$: $3$, $6$ の 2 枚
・あまり $1$: $1$, $4$, $7$ の 3 枚
・あまり $2$: $2$, $5$, $8$ の 3 枚

3 枚の和が 3 の倍数になるのは、あまりの和が 3 の倍数になるときです。

(1) 3 枚ともあまりが同じ: あまり $0$ の 2 枚からは 3 枚選べないので 0 通り。あまり $1$ の 3 枚から 3 枚選ぶのは 1 通り。あまり $2$ も 1 通り。合計 2 通り。

(2) あまりが $0$, $1$, $2$ を 1 枚ずつ（和のあまりは $0+1+2=3$ で 3 の倍数）: $2\times 3\times 3=18$ 通り。

(3) そのほかの組み合わせ（たとえば $0,0,1$ や $1,1,2$）は和が 3 の倍数にならない。

合計 $2+18=20$ 通り。

検算: 3 枚の選び方は全部で $8\times 7\times 6÷6=56$ 通り。あまりの組み合わせごとに調べると、$0,0,1$: $1\times 3=3$、$0,0,2$: $3$、$0,1,1$: $2\times 3=6$、$0,2,2$: $6$、$1,1,2$: $3\times 3=9$、$1,2,2$: $9$、$1,1,1$: 1、$2,2,2$: 1、$0,1,2$: 18。合計 $3+3+6+6+9+9+1+1+18=56$ で一致し、3 の倍数になるのは $1+1+18=20$ 通りです。