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数と式の問題

難易度 3公立高校入試の標準レベル中学数学数と式

$2$ けたの自然数 $A$ がある。 $A$ の十の位の数と一の位の数を入れかえてできる $2$ けたの自然数を $B$ とする。 $A - B = 45$ であり、 $A$ の十の位の数と一の位の数の和が $11$ であるとき、 $A$ を求めよ。

この問題で使うもの

文字式で表した整数の性質（説明と入口の問題）
文字式の計算（同類項・分配法則）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（12 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

十の位の数を $a$ 、一の位の数を $b$ として、 $A$ と $B$ を文字式で表しましょう。

ヒント 2

$A - B = (10 a + b) - (10 b + a) = 9 (a - b)$ となります。

ヒント 3

$a - b = 5$ と $a + b = 11$ の連立方程式を解きます。

答えと解説

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83

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解説を読む

$A$ の十の位の数を $a$ 、一の位の数を $b$ とすると、 $A = 10 a + b$ 、 $B = 10 b + a$ と表せます。 $B$ も $2$ けたの数なので、 $a$ , $b$ は $1$ 以上 $9$ 以下の整数です。

$A - B = (10 a + b) - (10 b + a) = 9 a - 9 b = 9 (a - b)$

$A - B = 45$ より $9 (a - b) = 45$ なので $a - b = 5 (1)$

また、各位の数の和が $11$ なので $a + b = 11 (2)$

$(1) + (2)$ より $2 a = 16$ 、 $a = 8$ 。 $(2)$ に代入して $b = 3$ 。

よって $A = 83$ です。（確かめ: $83 - 38 = 45$ 、 $8 + 3 = 11$ ）

別解

$A$ の十の位を $a$ 、一の位を $b$ とすると、 $A = 10 a + b$ 、 $B = 10 b + a$ である。
$A - B = (10 a + b) - (10 b + a) = 9 a - 9 b = 9 (a - b) = 45$ より $a - b = 5$ 。
また、条件より $a + b = 11$ 。
この 2 式を足すと $2 a = 16$ より $a = 8$ 、 $b = 11 - 8 = 3$ 。
よって $A = 83$ 。
検算: $B = 38$ 、 $83 - 38 = 45$ 、 $8 + 3 = 11$ で条件を満たす。

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