数と式の問題

$A$ の十の位の数を $a$、一の位の数を $b$ とすると、$a$, $b$ は $1$ 以上 $9$ 以下の整数で、
$$A=10a+b,B=10b+a$$
と表せます。

$$A+B=11a+11b=11(a+b),A-B=9a-9b=9(a-b)$$
なので、
$$A^2-B^2=(A+B)(A-B)=11(a+b)\times 9(a-b)=99(a+b)(a-b)$$
となります。

$A^2-B^2=2376$ より
$$99(a+b)(a-b)=2376$$
$$(a+b)(a-b)=24$$

$a+b>0$ なので $a-b>0$ です。また、$a+b$ と $a-b$ の和は $2a$ で偶数なので、$a+b$ と $a-b$ はともに偶数か、ともに奇数です。積が $24$ で、$a+b>a-b$ となる組は
$$(a+b,a-b)=(24,1),(12,2),(8,3),(6,4)$$
ですが、偶奇がそろうのは $(12,2)$ と $(6,4)$ だけです。

• $a+b=12$, $a-b=2$ のとき、$a=7$, $b=5$ で、$A=75$
• $a+b=6$, $a-b=4$ のとき、$a=5$, $b=1$ で、$A=51$

どちらも $a$, $b$ が $1$ 以上 $9$ 以下で条件に合います。

確かめ: $75^2-57^2=5625-3249=2376$、$51^2-15^2=2601-225=2376$

よって、求める和は $75+51=126$ です。

$A$ の十の位を $a$、一の位を $b$ とすると $A=10a+b$、$B=10b+a$（$a,b$ は 1 以上 9 以下の整数。$b\ne 0$ なので $B$ も 2 けた）。
$A^2-B^2=(A+B)(A-B)=11(a+b)\times 9(a-b)=99(a+b)(a-b)$。
$99(a+b)(a-b)=2376$ より $(a+b)(a-b)=24$。
$a+b$ と $a-b$ は偶奇が同じで、$a+b>a-b>0$ なので、組は $(a+b,a-b)=(12,2),(6,4)$。
$(12,2)$ のとき $a=7,b=5$ で $A=75$。
$(6,4)$ のとき $a=5,b=1$ で $A=51$。
（$(24,1),(8,3)$ は偶奇が異なり不適。）
検算: $75^2-57^2=5625-3249=2376$、$51^2-15^2=2601-225=2376$。
よって $A=75,51$、和は $75+51=126$。