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数と式の問題

難易度 2教科書の章末問題レベル中学数学数と式

次の式を展開して整理しなさい。
$(2 x + 3) (2 x - 3) - (x - 2) (4 x + 1)$

この問題で使うもの

乗法公式による展開（説明と入口の問題）
文字式の計算（同類項・分配法則）（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（9 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

2 つの積をそれぞれ展開してから、ひき算をしましょう。

ヒント 2

$(2 x + 3) (2 x - 3)$ は和と差の積の公式 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ が使えます。

ヒント 3

$(2 x + 3) (2 x - 3) = 4 x^{2} - 9$ 、 $(x - 2) (4 x + 1) = 4 x^{2} - 7 x - 2$ です。かっこをはずすときの符号に注意しましょう。

答えと解説

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7 x - 7

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解説を読む

前の積は乗法公式 $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ を使って展開します。
$(2 x + 3) (2 x - 3) = (2 x)^{2} - 3^{2} = 4 x^{2} - 9$
後ろの積は分配法則で展開します。
$(x - 2) (4 x + 1) = 4 x^{2} + x - 8 x - 2 = 4 x^{2} - 7 x - 2$
したがって
$(2 x + 3) (2 x - 3) - (x - 2) (4 x + 1) = 4 x^{2} - 9 - (4 x^{2} - 7 x - 2) = 4 x^{2} - 9 - 4 x^{2} + 7 x + 2 = 7 x - 7$

別解

$(2 x + 3) (2 x - 3) = 4 x^{2} - 9$ 。
$(x - 2) (4 x + 1) = 4 x^{2} + x - 8 x - 2 = 4 x^{2} - 7 x - 2$ 。
$(4 x^{2} - 9) - (4 x^{2} - 7 x - 2) = 4 x^{2} - 9 - 4 x^{2} + 7 x + 2 = 7 x - 7$ 。
検算: $x = 1$ のとき、元の式は $5 \times (- 1) - (- 1) \times 5 = - 5 + 5 = 0$ 、 $7 x - 7 = 0$ 。 $x = 2$ のとき、元の式は $7 \times 1 - 0 = 7$ 、 $7 x - 7 = 7$ 。

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