数と式の問題

最も大きい奇数の 2 乗から最も小さい奇数の 2 乗をひくと
$$(2n+3{)}^2-(2n-1{)}^2$$
となります。それぞれ展開すると
$$(2n+3{)}^2=4n^2+12n+9,(2n-1{)}^2=4n^2-4n+1$$
なので
$$(2n+3{)}^2-(2n-1{)}^2=(4n^2+12n+9)-(4n^2-4n+1)=16n+8$$
です。これを中央の奇数 $2n+1$ を使って表すと
$$16n+8=8(2n+1)$$
となります。

したがって、差はつねに中央の奇数の $8$ 倍です。

（確かめ：$1,3,5$ のとき $5^2-1^2=24=8\times 3$ です。）

最も大きい奇数は $2n+3$、最も小さい奇数は $2n-1$、中央は $2n+1$。
$(2n+3{)}^2-(2n-1{)}^2=(4n^2+12n+9)-(4n^2-4n+1)=16n+8=8(2n+1)$。
よって差は中央の奇数 $2n+1$ の $8$ 倍。
検算: $n=1$ のとき $1,3,5$ で、$5^2-1^2=24=8\times 3$。