数と式の問題

使う技能: 整数を文字式で表し、展開して整理することで、「何倍になるか」を調べる。

1. 差を文字式で表して展開する
大きいほうの偶数の 2 乗から小さいほうの偶数の 2 乗をひいた差は
$$(2n+2{)}^2-(2n{)}^2$$
である。$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ を使って展開すると
$$(2n+2{)}^2-(2n{)}^2=(4n^2+8n+4)-4n^2=8n+4$$
となる。

2. 2 つの偶数の和を文字式で表す
$$2n+(2n+2)=4n+2$$

3. 差を和の何倍かの形に変形する
$8n+4$ を、和 $4n+2$ をふくむ形に因数分解すると
$$8n+4=2(4n+2)$$
となる。$n$ は整数なので、差はつねに 2 つの偶数の和の $2$ 倍である。

確かめ: $n=3$ のとき、2 つの偶数は $6$ と $8$ で、$8^2-6^2=64-36=28$、和は $6+8=14$ なので、$28=2\times 14$ となり、確かに $2$ 倍である。

よって、答えは $2$ 倍である。

大きいほうの偶数の 2 乗から小さいほうの偶数の 2 乗をひいた差は、(2n+2)² − (2n)² = (4n² + 8n + 4) − 4n² = 8n + 4 = 4(2n + 1)。2 つの偶数の和は、2n + (2n + 2) = 4n + 2 = 2(2n + 1)。差 4(2n + 1) は和 2(2n + 1) の 2 倍なので、n がどんな整数でも、差はつねに和の 2 倍になる。検算: n = 1 のとき、偶数は 2 と 4 で、差は 16 − 4 = 12、和は 6 で、12 ÷ 6 = 2。n = 3 のとき、偶数は 6 と 8 で、差は 64 − 36 = 28、和は 14 で、28 ÷ 14 = 2。