仕事算

仕事全体の量を日数の最小公倍数などにおいて 1 日あたりの仕事量を求め、2 人でいっしょにしたときや、とちゅうで交代したときに仕事が終わる日数を求められる

前提

最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）

この技能までの道筋（2 技能）

算数中学高校大学大学院

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約数の見つけ方（算数整数の性質）
最大公約数と最小公倍数（算数整数の性質）

説明

「A さん 1 人なら 10 日、B さん 1 人なら 15 日かかる仕事」のように、それぞれがかかる日数がわかっているとき、2 人でいっしょにしたり、とちゅうで交代したりすると何日で終わるかを求める方法です。仕事全体の量を、日数の最小公倍数などの、どの日数でもわり切れる数に決めると、1 日あたりの仕事量が整数で表せて計算しやすくなります。ペンキぬり、水そうに水を入れる問題なども同じ考え方で解けます。

なぜそうしてよいのか

仕事全体の量は問題に書かれていませんが、「全部で何こ分の仕事か」を自分で決めてもかまいません。どんな大きさに決めても、A さんも B さんも同じ仕事全体を同じ日数で終わらせるので、日数の答えは変わらないからです。

そこで、全体の量を 10 と 15 の最小公倍数の 30 にします。すると A さんは 30 の仕事を 10 日で終えるので 1 日に 3、B さんは 15 日で終えるので 1 日に 2 の仕事をします（ $3 \times 10 = 30$ 、 $2 \times 15 = 30$ ）。最小公倍数にしておけば、どちらの日数でもわり切れるので、1 日あたりの量が整数になります。

2 人でいっしょにすると、1 日に $3 + 2 = 5$ の仕事が進みます。30 の仕事が 5 ずつ減るので、5 が何こ分で 30 になるかを考えれば日数がわかります。とちゅうで交代するときも、1 人がした日数分の仕事を全体から引き、残りをもう 1 人の 1 日あたりの量で分ければ求められます。

手順

それぞれが 1 人でかかる日数の最小公倍数を求め、それを仕事全体の量とする。
全体の量を、それぞれの日数で分けて、1 日あたりの仕事量を求める。（全体の量 ÷ 日数）
いっしょにするときは、1 日あたりの仕事量をたして、2 人の 1 日あたりの仕事量を求める。
全体の量（とちゅうで交代するときは、先にした人の仕事量を引いた残りの量）を、その 1 日あたりの仕事量で分けて日数を求める。（残りの量 ÷ 1 日あたりの量）
わり切れないときは、最後の日にまだ仕事が残っている点に注意し、何日目に終わるかを問題の聞き方に合わせて答える。

例題

ある仕事を、A さん 1 人ですると 10 日、B さん 1 人ですると 15 日で終わります。この仕事を A さんと B さんの 2 人でいっしょにすると、何日で終わりますか。

例題の解答

手順 1: 10 と 15 の最小公倍数を求めます。すだれ算で 5 でわると 2 と 3 になり、これ以上共通の約数はないので、最小公倍数は $5 \times 2 \times 3 = 30$ です。仕事全体の量を 30 とします。

手順 2: A さんは 30 の仕事を 10 日で終えるので、1 日あたり $30 \div 10 = 3$ です。B さんは 15 日で終えるので、1 日あたり $30 \div 15 = 2$ です。

手順 3: 2 人でいっしょにすると、1 日あたり $3 + 2 = 5$ の仕事が進みます。

手順 4: 30 の仕事を 1 日 5 ずつ進めるので、 $5 \times 6 = 30$ より $30 \div 5 = 6$ 日で終わります。

手順 5: 6 日でちょうどわり切れているので、6 日目の終わりにちょうど仕事が終わります。

答えは 6 日です。

答え: $6$

よくある誤り

かかる日数どうしをたしたり、平均したりしてしまう誤り。例: $10 + 15 = 25$ 日や、 $(10 + 15) \div 2 = 12.5$ 日としてしまう。正しくは 1 日あたりの仕事量をたして、 $30 \div (3 + 2) = 6$ 日。
1 日あたりの仕事量の代わりに、日数をそのまま仕事量としてたしてしまう誤り。例: $30 \div (10 + 15)$ を計算してしまう。正しくは 1 日あたりの量 $30 \div 10 = 3$ 、 $30 \div 15 = 2$ を求めてからたす。
とちゅうで交代する問題で、先にした人の仕事量を全体から引き忘れる誤り。例: A さんが 4 日したあと B さんが続けるとき、B さんの日数を $30 \div 2 = 15$ 日としてしまう。正しくは A さんの $3 \times 4 = 12$ を引いた残り $30 - 12 = 18$ を 2 で分けて 9 日。
わり切れないときに、あまりの分を切り捨てて日数を答えてしまう誤り。例: 全体 30 を 1 日 4 ずつ進めると $30 \div 4 = 7$ あまり 2 なので 7 日としてしまう。正しくは 7 日では 2 が残るので、終わるのは 8 日目。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある仕事を、Aさんが 1 人ですると 10 日で、Bさんが 1 人ですると 15 日で終わります。Aさんも Bさんも毎日同じ量ずつ仕事をし、2 人でいっしょにしても、それぞれが 1 日にする仕事の量は変わらないものとします。この仕事を Aさんと Bさんの 2 人でいっしょにすると、何日で終わりますか。

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の練習問題レベル）
空の水そうに水を入れます。A の管だけで水を入れると 20 分で、B の管だけで水を入れると 30 分で、水そうがいっぱいになります。A と B の 2 本の管を同時に使って空の水そうに水を入れると、何分でいっぱいになりますか。ただし、それぞれの管から 1 分間に出る水の量はいつも同じとします。

この技能の次に学べること

とちゅうで休む仕事算（算数いろいろな文章題）
仕事量の置きかえ（1 人あたりの量がわからない仕事算）（算数いろいろな文章題）
ニュートン算（算数いろいろな文章題）