ある遊園地の入口に、開場前から何人かが行列をつくって待っています。開場すると、行列には毎分同じ人数ずつ新しい人が加わります。入口の窓口 1 つでは、1 分間に 5 人ずつ受け付けます。窓口を 2 つ開けると 30 分で行列がなくなり、窓口を 3 つ開けると 15 分で行列がなくなります。窓口を 4 つ開けると、何分で行列がなくなりますか。
ニュートン算
はじめの量と、1 分あたりに増える量・減る量を区別し、窓口の数がちがう 2 つの場合をくらべて 1 分あたりに加わる人数とはじめの人数を求め、行列がなくなるまでの時間を求められる（とちゅうで窓口の数が変わる場合もふくむ）
前提
- 仕事算 （算数 いろいろな文章題）
この技能までの道筋（3 技能）
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右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。
一覧で見る（前提が先）
- 約数の見つけ方 （算数 整数の性質）
- 最大公約数と最小公倍数 （算数 整数の性質）
- 仕事算 （算数 いろいろな文章題）
説明
行列に並んでいる人を窓口で受け付けているあいだにも、新しい人が次々に並びにくる、というように「はじめにある量」が「減りながら増えていく」場面で、なくなるまでの時間を求める方法です。窓口の数がちがう 2 つの場合をくらべると、1 分あたりに加わる人数と、はじめに並んでいた人数がわかります。牧場の草を牛が食べる問題や、水が入ってくる水そうから水をくみ出す問題も同じ考え方で解けます。
なぜそうしてよいのか
行列がなくなるまでに窓口で受け付けた人数は、「はじめに並んでいた人数」と「そのあいだに新しく加わった人数」の合計です。たとえば 1 つの窓口で 1 分に 2 人受け付けるとき、窓口 2 つで 30 分かかったなら、受け付けた人数は 人で、これは「はじめの人数 ＋ 30 分間に加わった人数」です。
窓口 3 つで 15 分かかったなら、受け付けた人数は 人で、これは「はじめの人数 ＋ 15 分間に加わった人数」です。2 つをくらべると、はじめの人数は同じなので、 人の差は「 分間に加わった人数」です。これで 1 分あたりに加わる人数がわかり、はじめの人数もわかります。
いったん、はじめの人数と 1 分あたりに加わる人数がわかれば、行列は 1 分ごとに「受け付ける人数 − 加わる人数」ずつ短くなるので、はじめの人数をそれでわれば、なくなるまでの時間がわかります。これは仕事算で、仕事全体を 1 日あたりの量でわって日数を出したのと同じしくみです。1 つの窓口が 1 分に受け付ける人数が書かれていないときは、それを 1 とおいて同じように考えます（仕事算で全体の量を自分で決めたのと同じです）。
手順
1 つの窓口が 1 分に受け付ける人数を確かめる（書かれていなければ 1 とおく）。
2 つの場合それぞれで、行列がなくなるまでに受け付けた人数の合計を求める。（1 分の人数 × 窓口の数 × 時間）
2 つの合計の差を、時間の差でわって、1 分あたりに加わる人数を求める。
どちらかの場合で、受け付けた合計から、その時間に加わった人数を引いて、はじめに並んでいた人数を求める。
求めたい場合の、1 分あたりに行列が減る人数（受け付ける人数 − 加わる人数）を出し、はじめの人数をそれでわって時間を求める。とちゅうで窓口の数が変わるときは、変わるまでに残った人数を出してから同じように考える。
例題
ある窓口には、受付を始める前に何人かが並んでいて、受付を始めてからも毎分同じ人数ずつ新しい人が並びにきます。1 つの窓口では 1 分間に 2 人ずつ受け付けます。窓口を 2 つ開けると 30 分で行列がなくなり、窓口を 3 つ開けると 15 分で行列がなくなります。窓口を 4 つ開けると、何分で行列がなくなりますか。
例題の解答
手順 1: 1 つの窓口は 1 分間に 2 人受け付けます。
手順 2: 窓口 2 つで 30 分のとき、受け付けた人数は 人です。窓口 3 つで 15 分のとき、受け付けた人数は 人です。
手順 3: どちらも「はじめの人数 ＋ 加わった人数」なので、差の 人は、 分間に加わった人数です。1 分あたりに加わる人数は 人です。
手順 4: 窓口 2 つの場合で、30 分間に加わった人数は 人なので、はじめに並んでいた人数は 人です。
手順 5: 窓口 4 つでは 1 分に 人受け付け、2 人加わるので、行列は 1 分に 人ずつ減ります。はじめの 60 人がなくなるのは 分後です。確かめると、10 分で受け付けた 人は、はじめの 60 人と加わった 人の合計と等しくなっています。
答えは 10 分です。
答え:
よくある誤り
新しく加わる人を考えずに、はじめの人数だけを受け付けたと考えてしまう誤り。例: 窓口 2 つで 30 分なので、はじめの人数を 人としてしまう。正しくは 120 人は「はじめの人数 ＋ 30 分間に加わった人数」で、はじめの人数は 人。
2 つの合計の差を、時間の差ではなく窓口の数の差でわってしまう誤り。例: 人を 1 分あたりに加わる人数としてしまう。正しくは差の 30 人は 分間に加わった人数なので、 人。
なくなるまでの時間を出すとき、受け付ける人数だけでわってしまう誤り。例: 窓口 4 つで を計算してしまう。正しくは 1 分に 2 人加わるので、行列が減るのは 人ずつで、 分。
とちゅうで窓口の数が変わる問題で、変わるまでの間に加わった人数を忘れる誤り。例: はじめ 60 人、毎分 2 人加わり、窓口 2 つ（1 分に 4 人）で 5 分受け付けたあとの残りを 人としてしまう。正しくは 1 分に 人ずつ減るので、残りは 人。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
ある美術館では、開館時刻にすでに入館を待つ人の行列ができていて、開館後も毎分同じ人数ずつ行列に人が加わります。受付の窓口はどれも 1 分間に同じ人数を受け付けます。開館と同時に窓口を 3 つ開くと 40 分で行列がなくなり、開館と同時に窓口を 5 つ開くと 20 分で行列がなくなります。
ある日、開館と同時に窓口を 3 つ開き、開館から 8 分後に窓口を 2 つ増やして 5 つにしました。行列がなくなるのは、開館から何分後ですか。ある井戸には、はじめにある量の水がたまっていて、毎分一定の量の水がわき出ています。くみ上げる力が同じポンプを 4 台使うと 30 分で、6 台使うと 18 分で井戸の水はなくなります。はじめはポンプを 3 台使ってくみ上げ、くみ上げ始めてから 15 分後にポンプを 4 台増やして、7 台でくみ上げました。井戸の水がなくなるのは、くみ上げ始めてから何分後ですか。