とちゅうで休む仕事算

「A は 12 日、B は 18 日で終える仕事を 2 人で始め、A がとちゅうで何日か休んで 9 日で終わった」のような問題で、休まなかったと仮定した仕事量と実際の仕事量との差をつるかめ算の考え方で 1 日あたりの仕事量でわって、休んだ日数を求められる

前提

仕事算（算数いろいろな文章題）
つるかめ算（算数いろいろな文章題）

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算数中学高校大学大学院

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約数の見つけ方（算数整数の性質）
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仕事算（算数いろいろな文章題）
つるかめ算（算数いろいろな文章題）

説明

2 人でいっしょに仕事をしたが、そのうち 1 人がとちゅうで何日か休んだ、という仕事算で、休んだ日数を求める方法です。「休まなかったら」と仮定したときの仕事量と、実際の仕事量（仕事全体）の差に注目する、つるかめ算と同じ考え方を使います。休んだ人の 1 日あたりの仕事量がわかれば、差がその何日分かで休んだ日数がわかります。

なぜそうしてよいのか

A さんは 12 日、B さんは 18 日で終える仕事を考えます。仕事全体を 12 と 18 の最小公倍数の 36 とすると、A さんは 1 日に $36 \div 12 = 3$ 、B さんは 1 日に $36 \div 18 = 2$ の仕事をします。

2 人で始めて 9 日で終わったとき、もし A さんが 1 日も休まなかったら、9 日間で $(3 + 2) \times 9 = 45$ の仕事ができたはずです。ところが実際の仕事は全体の 36 だけでした。この $45 - 36 = 9$ の差は、A さんが休んだ日に、できるはずだった仕事ができなかった分です。

A さんが 1 日休むごとに、できる仕事は A さんの 1 日分の 3 ずつ減ります。だから、差の 9 が 3 の何こ分かを考えれば、A さんが休んだ日数がわかります。これは、「全部が一方だったら」と仮定して実際との差を 1 個あたりの差でわる、つるかめ算と同じしくみです（ここでは「2 人で働いた日」と「B さんだけが働いた日」の 2 種類の日があり、1 日あたりの仕事量の差は 3 です）。

手順

それぞれが 1 人でかかる日数の最小公倍数を仕事全体の量とし、1 人ずつの 1 日あたりの仕事量を求める。
だれも休まなかったと仮定して、かかった日数の間に 2 人でできる仕事量を求める。（2 人の 1 日あたりの仕事量の和 × 日数）
仮定した仕事量と、実際の仕事量（仕事全体）の差を求める。
その差を、休んだ人の 1 日あたりの仕事量でわって、休んだ日数を求める。
休んだ日数を引いて、それぞれが実際に働いた日数の仕事量をたし、仕事全体と等しくなるか確かめる。

例題

ある仕事を、A さん 1 人ですると 12 日、B さん 1 人ですると 18 日で終わります。この仕事を A さんと B さんの 2 人で始めましたが、とちゅうで A さんが何日か休んだため、始めてから 9 日で終わりました。B さんは 1 日も休みませんでした。A さんは何日休みましたか。

例題の解答

手順 1: 12 と 18 の最小公倍数は、すだれ算で 6 でわると 2 と 3 になるので $6 \times 2 \times 3 = 36$ です。仕事全体を 36 とすると、A さんの 1 日あたりの仕事量は $36 \div 12 = 3$ 、B さんは $36 \div 18 = 2$ です。

手順 2: A さんが休まなかったと仮定すると、9 日間で $(3 + 2) \times 9 = 5 \times 9 = 45$ の仕事ができます。

手順 3: 実際の仕事は 36 なので、差は $45 - 36 = 9$ です。

手順 4: A さんが 1 日休むと、仕事は 3 ずつ減ります。 $3 \times 3 = 9$ より、 $9 \div 3 = 3$ 日休んだことになります。

手順 5: A さんは $9 - 3 = 6$ 日働いて $3 \times 6 = 18$ 、B さんは 9 日働いて $2 \times 9 = 18$ の仕事をしました。 $18 + 18 = 36$ で、仕事全体と等しくなっています。

答えは 3 日です。

答え: $3$

よくある誤り

差を、休んだ人ではなく 2 人の 1 日あたりの仕事量の和でわってしまう誤り。例: $9 \div (3 + 2)$ を計算してしまう。正しくは、A さんが 1 日休むと減るのは A さんの 1 日分の 3 だけなので、 $9 \div 3 = 3$ 日。
休んだ人の 1 日あたりの仕事量と、休まなかった人の仕事量を取りちがえる誤り。例: B さんの 1 日あたりの仕事量 2 でわって $9 \div 2$ としてしまう。正しくは休んだのは A さんなので、A さんの 1 日あたりの量 3 でわる。
求めた「休んだ日数」と「働いた日数」を取りちがえる誤り。例: $9 \div 3 = 3$ を A さんが働いた日数と考え、休んだ日数を $9 - 3 = 6$ 日としてしまう。正しくは 3 日は休んだ日数で、働いたのは $9 - 3 = 6$ 日。
仮定の仕事量を、かかった日数ではなく 1 人でかかる日数を使って計算してしまう誤り。例: $(3 + 2) \times 12 = 60$ としてしまう。正しくは実際にかかった 9 日を使って $(3 + 2) \times 9 = 45$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある仕事を、Aさんが 1 人ですると 10 日で、Bさんが 1 人ですると 15 日で終わります。Aさんも Bさんも、働いた日は毎日同じ量ずつ仕事をし、2 人でいっしょに働いても、それぞれが 1 日にする仕事の量は変わらないものとします。この仕事を 2 人でいっしょに始めましたが、とちゅうで Aさんだけが何日か休んだので、始めてからちょうど 9 日で終わりました。Bさんは 1 日も休みませんでした。Aさんは何日休みましたか。

この技能を使う問題

難易度 3（中学入試の基本レベル）
ある仕事を、A さん $1$ 人ですると $12$ 日、B さん $1$ 人ですると $18$ 日で終えることができます。この仕事を $2$ 人でいっしょに始めましたが、とちゅうで A さんが何日か休んだため、仕事を始めてから終わるまでにちょうど $9$ 日かかりました。B さんは $9$ 日間休まずに働きました。A さんは何日休みましたか。