仕事量の置きかえ（1 人あたりの量がわからない仕事算）

「A と B の 2 人で 12 日」と「A が 4 日のあと B が 24 日」のような 2 つの条件をくらべて、A の 1 日分と B の 1 日分の仕事量の比を求め、一方の仕事量に置きかえて全体の仕事量や、交代したときにかかる日数を求められる

前提

仕事算（算数いろいろな文章題）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）

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算数中学高校大学大学院

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小数と分数のまじった計算（算数計算と数のきまり）
比の性質と簡単な比（算数割合と比）

説明

「A と B の 2 人でいっしょにすると 12 日」「A が 4 日したあと B が 24 日すると終わる」のように、1 人ずつでかかる日数がわからない仕事算で、2 つの条件をくらべて A と B の 1 日分の仕事量の比を求める方法です。比がわかれば、A の 1 日分と B の 1 日分をそれぞれ ③、② のように表して仕事全体の量が求められ、1 人でしたときや交代したときの日数がわかります。

なぜそうしてよいのか

「2 人で 12 日」は、A の 12 日分と B の 12 日分を合わせると仕事全体になる、という意味です。「A が 4 日、B が 24 日」は、A の 4 日分と B の 24 日分を合わせると仕事全体になる、という意味です。どちらも同じ仕事全体なので、

A の 12 日分＋ B の 12 日分＝ A の 4 日分＋ B の 24 日分

です。両方から A の 4 日分と B の 12 日分を取りのぞくと、A の 8 日分＝ B の 12 日分となります。つまり、A が 8 日でする仕事を、B は 12 日かけてします。

同じ仕事をするのにかかる日数が 8 : 12 ＝ 2 : 3 なので、1 日にする仕事の量は日数と逆になり、A の 1 日分 : B の 1 日分＝ 3 : 2 です（たとえば A の 1 日分を 3、B の 1 日分を 2 とすると、 $3 \times 8 = 24$ 、 $2 \times 12 = 24$ で同じ量になります）。このように 1 日分の仕事量を比の数で置きかえれば、仕事全体の量を数で表せるので、あとはふつうの仕事算と同じように計算できます。

手順

2 つの条件を、それぞれ「A の □ 日分＋ B の □ 日分＝仕事全体」の形に書きなおす。
2 つの式で共通する部分を取りのぞき、「A の □ 日分＝ B の □ 日分」の形にする。
同じ仕事量にかかる日数の比を逆にして、A の 1 日分と B の 1 日分の仕事量の比を求め、いちばん簡単な整数の比にする。
比の数を 1 日分の仕事量として、どちらかの条件から仕事全体の量を求める。
仕事全体の量を、聞かれている人（または残りの仕事をする人）の 1 日分の量でわって日数を求め、もう一方の条件でも仕事全体が同じになるか確かめる。

例題

ある仕事を A さんと B さんの 2 人でいっしょにすると 12 日で終わります。また、A さんが 1 人で 4 日したあと、残りを B さんが 1 人ですると 24 日で終わります。この仕事を A さん 1 人ですると、何日で終わりますか。

例題の解答

手順 1: 2 つの条件は次のように書けます。
・A の 12 日分＋ B の 12 日分＝仕事全体
・A の 4 日分＋ B の 24 日分＝仕事全体

手順 2: どちらも仕事全体なので等しく、両方から A の 4 日分と B の 12 日分を取りのぞくと、A の $12 - 4 = 8$ 日分＝ B の $24 - 12 = 12$ 日分です。

手順 3: 同じ仕事に A は 8 日、B は 12 日かかるので、日数の比は $8 : 12 = 2 : 3$ です。1 日分の仕事量の比はその逆で、A の 1 日分 : B の 1 日分＝ $3 : 2$ です。

手順 4: A の 1 日分を 3、B の 1 日分を 2 とします。1 つ目の条件から、仕事全体は $(3 + 2) \times 12 = 60$ です。

手順 5: A さん 1 人では、 $3 \times 20 = 60$ より $60 \div 3 = 20$ 日で終わります。確かめとして 2 つ目の条件では、 $3 \times 4 + 2 \times 24 = 12 + 48 = 60$ となり、仕事全体と等しくなっています。

答えは 20 日です。

答え: $20$

よくある誤り

日数の比をそのまま 1 日分の仕事量の比にしてしまう誤り。例: A の 8 日分＝ B の 12 日分から、1 日分の比を $2 : 3$ としてしまう。正しくは、同じ仕事に多くの日数がかかるほうが 1 日分は少ないので、比を逆にして $3 : 2$ 。
2 つの条件をくらべるとき、共通部分の取りのぞき方をまちがえる誤り。例: A の $12 - 4 = 8$ 日分＝ B の $24$ 日分としてしまう。正しくは B も両方から 12 日分を取りのぞいて、A の 8 日分＝ B の $24 - 12 = 12$ 日分。
仕事全体を求めるときに、2 人の 1 日分の和ではなく片方だけを使ってしまう誤り。例: 仕事全体を $3 \times 12 = 36$ としてしまう。正しくは 12 日間は 2 人でしているので $(3 + 2) \times 12 = 60$ 。
求めた仕事全体を、もう一方の条件で確かめない誤り。正しくは $3 \times 4 + 2 \times 24 = 60$ となることを確かめ、比や計算のまちがいがないか調べる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
ある仕事を、Aさんと Bさんの 2 人でいっしょにすると、ちょうど 6 日で終わります。また、同じ仕事を、はじめに Aさんが 1 人で 3 日して、そのあと Bさんが 1 人で 12 日すると、ちょうど終わります。Aさんも Bさんも、働いた日は毎日同じ量ずつ仕事をし、2 人でいっしょに働いても、それぞれが 1 日にする仕事の量は変わらないものとします。この仕事を Bさんが 1 人ですると、何日で終わりますか。

この技能を使う問題

難易度 4（中学入試の標準レベル）
ある仕事を、A さんと B さんの 2 人でいっしょにすると 12 日で終わります。また、この仕事を A さんが 1 人で 4 日したあと、残りを B さんが 1 人で 24 日すると終わります。この仕事を、はじめに B さんが 1 人で 15 日したあと、残りを A さんが 1 人ですると、A さんは何日働くことになりますか。ただし、A さん、B さんがそれぞれ 1 日にする仕事の量はいつも同じとします。