割合と比の問題

連比にまとめる

A さんと B さんの比は $3:4$、B さんと C さんの比は $6:5$ です。B さんの比の数を $4$ と $6$ の最小公倍数 $12$ にそろえると
$$A:B=3:4=9:12,B:C=6:5=12:10$$
なので
$$A:B:C=9:12:10$$
です。

変わらない量に注目する

B さんが A さんにお金を渡しても、A さんと B さんの所持金の和は変わりません。

はじめの A さんと B さんの和は $9+12=21$、渡したあとの比 $5:4$ の和は $5+4=9$ です。和を $21$ と $9$ の最小公倍数 $63$ にそろえます。

• はじめ: $A:B=9:12=27:36$（和 $63$）
• 渡したあと: $A:B=5:4=35:28$（和 $63$）

A さんは $27$ から $35$ に増えたので、増えた $35-27=8$ が $600$ 円にあたります（B さんも $36-28=8$ 減っていて合っています）。

このそろえた比の $1$ にあたる金額は
$$600÷8=75\text{（円）}$$
です。

3 人の合計を求める

そろえた比で表すと、はじめの 3 人の所持金は $A:B:C=9:12:10$ の各数を $3$ 倍して
$$A:B:C=27:36:30$$
です。合計は $27+36+30=93$ なので、合計金額は
$$75\times 93=6975\text{（円）}$$
です。

確かめ: A さん $2025$ 円、B さん $2700$ 円、C さん $2250$ 円で、$2025:2700=3:4$、$2700:2250=6:5$ です。B さんが $600$ 円渡すと A さん $2625$ 円、B さん $2100$ 円で、$2625:2100=5:4$ になります。

答えは $6975$ 円です。

まず、はじめの 3 人の比をそろえます。B を 4 と 6 の最小公倍数 12 にそろえると、A:B:C $=9:12:10$ です。合計は 31 です。

B が A に 600 円渡しても、A と B の合計は変わりません。はじめの A と B の合計は $9+12=21$ です。あとの比 $5:4$ の合計は 9 なので、あとの比の 1 は、はじめの比で $21÷9=\frac{7}{3}$ にあたります。

あとの A は $5\times \frac{7}{3}=\frac{35}{3}$ です。はじめの A は 9 なので、増えた分は $\frac{35}{3}-9=\frac{8}{3}$ で、これが 600 円です。

はじめの比の 1 は $600÷\frac{8}{3}=225$ 円です。合計は比の 31 なので、$225\times 31=6975$ 円です。

確かめ: はじめは A が 2025 円、B が 2700 円、C が 2250 円で、比は $9:12:10$ です。B が A に 600 円渡すと A は 2625 円、B は 2100 円になり、$2625:2100=5:4$ で条件に合います。合計は $2025+2700+2250=6975$ 円です。