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連比

A:B と B:C のように共通の量をふくむ 2 つの比を、共通の量の数をそろえて A:B:C の連比（例: 3:4 と 6:5 から 9:12:10）にまとめ、比例配分に使える

前提

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算数中学高校大学大学院

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説明

「A と B の比が 3 : 4、B と C の比が 6 : 5」のように、共通の量（ここでは B）をふくむ 2 つの比があるとき、それを A : B : C ＝ 9 : 12 : 10 のような 3 つの量の比（連比）にまとめられるようになります。連比にすれば、3 人の所持金や 3 本のテープの長さなどを、比例配分でいっぺんに求められます。

なぜそうしてよいのか

比 は「A が 3 こ分なら B は 4 こ分」、比 は「B が 6 こ分なら C は 5 こ分」という意味です。しかし、2 つの比の「1 こ分」の大きさはふつうちがいます。B は 1 つの量なのに、片方では 4、もう片方では 6 と表されているからです。このままでは 3 つを 1 つの比にならべられません。

そこで、比の性質（前と後ろに同じ数をかけても比は変わらない）を使って、共通の量 B の数を同じにします。B の数 4 と 6 の最小公倍数は 12 なので、 の両方を 3 倍して 、 の両方を 2 倍して にします。こうすると、どちらの比でも B が 12 こ分になり、「1 こ分」の大きさがそろいます。だから A : B : C ＝ 9 : 12 : 10 とまとめられます。

最小公倍数でなくても、共通の数（たとえば 24）にそろえれば正しい連比になりますが、最小公倍数を使うといちばん小さい整数の連比になり、あとの計算が楽になります。

手順

  1. 2 つの比を上下にならべ、共通の量（例: B）の位置をそろえて書く。

  2. 共通の量の 2 つの数（例: 4 と 6）の最小公倍数を求める（例: 12）。

  3. それぞれの比の前と後ろに同じ数をかけて、共通の量の数を最小公倍数にそろえる。例: 、。

  4. そろえた数をならべて連比を書く。例: A : B : C ＝ 9 : 12 : 10。

  5. 全体の量がわかっていれば、連比の和でわって 1 こ分を出し、それぞれの比の数をかける（比例配分）。

例題

A さん、B さん、C さんの 3 人の所持金の合計は 700 円です。A さんと B さんの所持金の比は 2 : 3、B さんと C さんの所持金の比は 4 : 5 です。C さんの所持金は何円ですか。

例題の解答

手順 1: A : B ＝ 2 : 3、B : C ＝ 4 : 5 で、共通の量は B さんの所持金です。

手順 2: B の数 3 と 4 の最小公倍数は 12 です。

手順 3: A : B ＝ 2 : 3 の両方を 4 倍して 8 : 12、B : C ＝ 4 : 5 の両方を 3 倍して 12 : 15 にします。

手順 4: A : B : C ＝ 8 : 12 : 15 です。

手順 5: 連比の和は なので、1 こ分は 円です。C さんは 15 こ分なので 円です。

確かめ: A さん 160 円、B さん 240 円、C さん 300 円で、合計 700 円。、 で合っています。

よって、C さんの所持金は 300 円です。

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

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