割合と比の問題

A さんが C さんにお金をわたしても、A さんと C さんの所持金の合計は変わりません。

はじめの A さんと C さんの比は $4:2$ で、合計は $6$ です。
わたした後の比は $5:4$ で、合計は $9$ です。

合計が同じなので、比の合計を $6$ と $9$ の最小公倍数の $18$ にそろえます。
- はじめ: $4:2=12:6$
- わたした後: $5:4=10:8$

A さんは $12$ から $10$ に、$2$ だけ減っています。これが 1200 円にあたるので、そろえた比の $1$ にあたる金額は
$$1200÷2=600$$
より 600 円です。

はじめの A さんの所持金は $600\times 12=7200$ 円、C さんは $600\times 6=3600$ 円です。

はじめの比 $4:3:2$ で、A さんが $4$ にあたる 7200 円なので、比の $1$ は $7200÷4=1800$ 円です。B さんは $3$ にあたるので
$$1800\times 3=5400$$
よって、B さんの所持金は 5400 円です。

（確かめ: わたした後は A さん 6000 円、C さん 4800 円で、$6000:4800=5:4$ となり正しいです。）

はじめの比 $4:3:2$ の合計は 9 です。A さんと C さんの合計は、やりとりの前後で変わりません。はじめの A と C の合計は $4+2=6$ なので、あとの比 $5:4$ の合計 9 が、はじめの 6 にあたります。

そこで、あとの比の 1 にあたる大きさは、はじめの比で $6÷9=\frac{2}{3}$ です。あとの A は $5\times \frac{2}{3}=\frac{10}{3}$ です。はじめの A は 4 でしたから、A が渡した分は $4-\frac{10}{3}=\frac{2}{3}$ にあたります。これが 1200 円なので、はじめの比の 1 は $1200÷\frac{2}{3}=1800$ 円です。

B さんは比の 3 なので、$1800\times 3=5400$ 円です。

確かめ: はじめは A が 7200 円、B が 5400 円、C が 3600 円で、比は $4:3:2$ です。A が C に 1200 円渡すと A は 6000 円、C は 4800 円になり、$6000:4800=5:4$ となって条件に合います。