やりとりと比の変化

お金のやりとりなどで比が変わる問題で、和が変わらない量や差が変わらない量に注目して比の数をそろえ、1 にあたる量を求められる

前提

比例配分（算数割合と比）

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算数中学高校大学大学院

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比例配分（算数割合と比）

説明

「兄と弟の所持金の比は 3 : 2 でしたが、兄が弟に 200 円わたしたので 5 : 4 になりました」のように、やりとりなどで比が変わる問題を解けるようになります。やりとりの前後で変わらない量（2 人の合計、2 人の差、片方だけの量など）を見つけ、その量にあたる比の数をそろえてから、比の数の変化と実際の金額を対応させて 1 にあたる量を求めます。

なぜそうしてよいのか

比 $3 : 2$ と比 $5 : 4$ では、「1 こ分」の大きさがちがうかもしれないので、数をそのままくらべることはできません。そこで、やりとりの前後で変わらない量に注目します。

兄が弟にお金をわたしても、2 人のお金の合計は変わりません。前は合計が $3 + 2 = 5$ こ分、後は $5 + 4 = 9$ こ分ですが、これは同じ金額です。比の性質を使って、合計の数を 5 と 9 の最小公倍数 45 にそろえると、前は $27 : 18$ 、後は $25 : 20$ になり、両方の「1 こ分」の大きさが同じになります。すると、兄は 27 から 25 へ 2 こ分へったことがわかり、それがわたした 200 円にあたります。

変わらない量は問題によってちがいます。2 人が同じ金額ずつもらったり使ったりするとき（年れいの問題もそうです）は「差」が変わりません。片方だけがお金を使うときは「もう片方の量」が変わりません。どの場合も、変わらない量の比の数をそろえれば、1 こ分の大きさがそろい、変化した部分の数と実際の量を対応させられます。

手順

やりとりの前と後の比を書き、前後で変わらない量（合計・差・片方の量）を見つける。
変わらない量にあたる比の数を求める。例: 合計なら前 $3 + 2 = 5$ 、後 $5 + 4 = 9$ 。
その数の最小公倍数にそろえるように、前と後の比をそれぞれ何倍かする。例: 45 にそろえて、前 $27 : 18$ 、後 $25 : 20$ 。
変化した量の比の数の変わり方（例: 兄が 27 から 25 へ 2 へった）と、実際の量（例: 200 円）を対応させ、1 こ分を求める。例: $200 \div 2 = 100$ 円。
1 こ分に比の数をかけて、求める量を出し、条件に合うか確かめる。

例題

兄と弟の所持金の比は 3 : 2 でした。兄が弟に 200 円わたしたところ、兄と弟の所持金の比は 5 : 4 になりました。はじめの兄の所持金は何円ですか。

例題の解答

手順 1: 前の比は兄 : 弟＝ 3 : 2、後の比は 5 : 4 です。兄が弟にわたしただけなので、2 人の合計は変わりません。

手順 2: 合計にあたる比の数は、前が $3 + 2 = 5$ 、後が $5 + 4 = 9$ です。

手順 3: 5 と 9 の最小公倍数 45 にそろえます。前は 9 倍して $27 : 18$ 、後は 5 倍して $25 : 20$ です。

手順 4: 兄は 27 から 25 へ 2 こ分へり、これがわたした 200 円にあたります。（弟も 18 から 20 へ 2 こ分ふえていて合っています。）1 こ分は $200 \div 2 = 100$ 円です。

手順 5: はじめの兄は 27 こ分なので $100 \times 27 = 2700$ 円です。

確かめ: はじめの弟は $100 \times 18 = 1800$ 円で、 $2700 : 1800 = 3 : 2$ 。わたしたあとは $2500 : 2000 = 5 : 4$ で合っています。

よって、はじめの兄の所持金は 2700 円です。

答え: $2700$

よくある誤り

比の数をそろえずに、そのまま兄の 3 と 5 をくらべてしまう誤り（例: 兄が 3 から 5 にふえた、とする）。前と後では 1 こ分の大きさがちがうので、合計を 45 にそろえて $27 : 18$ と $25 : 20$ にしてからくらべる。
やりとりの問題なのに差をそろえてしまう誤り（例: 差 $3 - 2 = 1$ と $5 - 4 = 1$ をそろえて、兄が 3 から 5 になったとする）。お金をわたすと差は変わるので、変わらない合計をそろえる。差をそろえるのは、2 人が同じ金額ずつもらったり使ったりしたとき。
1 こ分を求めたあと、後の比の数をかけてしまう誤り（例: $100 \times 25 = 2500$ 円をはじめの兄とする）。2500 円はわたしたあとの兄の所持金。はじめの兄はそろえた前の比の数 27 を使って $100 \times 27 = 2700$ 円。
そろえる前の比の数で 1 こ分を求めてしまう誤り（例: 兄が $3$ と $5$ の差 2 こ分で 200 円として $100 \times 3 = 300$ 円）。かならず変わらない量の数をそろえた比で、変化した数と実際の量を対応させる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
姉と妹の持っているお金の比は $7 : 2$ でした。姉が妹に $150$ 円をあげたところ、姉と妹の持っているお金の比は $2 : 1$ になりました。はじめに姉が持っていたお金は何円ですか。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

和を使う年齢算（算数いろいろな文章題）