いま、お父さんは 40 才、兄は 11 才、弟は 7 才です。お父さんの年れいが、兄と弟の年れいの和と等しくなるのは、いまから何年後ですか。
和を使う年齢算
何人かの年れいの和は 1 年に人数分ずつ増えることを使い、「父の年れいが兄と弟の年れいの和と等しくなる」「父母の和が子どもの和の □ 倍になる」のような、人数のちがう和をくらべる年齢算を解ける
前提
- 年齢算（差が変わらないことを使う） （算数 いろいろな文章題）
- やりとりと比の変化 （算数 割合と比）
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- 年齢算（差が変わらないことを使う） （算数 いろいろな文章題）
- 小数の四則計算 （算数 計算と数のきまり）
- 分数のたし算・ひき算 （算数 計算と数のきまり）
- 分数のかけ算・わり算 （算数 計算と数のきまり）
- 小数と分数のまじった計算 （算数 計算と数のきまり）
- 約数の見つけ方 （算数 整数の性質）
- 最大公約数と最小公倍数 （算数 整数の性質）
- 比の性質と簡単な比 （算数 割合と比）
- 比例配分 （算数 割合と比）
- やりとりと比の変化 （算数 割合と比）
説明
1 人の年れいと何人かの年れいの和、または何人かの和どうしをくらべて、「何年後に等しくなるか」「何年後に □ 倍になるか」を求める方法です。2 人の年れいの差は変わりませんが、人数のちがう和をくらべると差が変わっていくので、1 年にいくつずつ差が変わるかに注目します。「父の年れいが兄と弟の年れいの和と等しくなるのは何年後か」「両親の年れいの和が子どもたちの和の 2 倍になるのは何年後か」のような問題で使います。
なぜそうしてよいのか
1 年たつと、1 人の年れいは 1 さいふえます。だから、2 人の年れいの和は 1 年に 2 さい、3 人の和なら 1 年に 3 さいふえます。つまり、何人かの年れいの和は 1 年に人数分ずつふえます。
父 1 人と、兄と弟の 2 人の和をくらべると、1 年ごとに父は 1 さい、兄弟の和は 2 さいふえます。だから、兄弟の和は 1 年に さいずつ父に追いついていきます。今の差がわかれば、それが 1 年あたりの追いつき方の何こ分かを考えて、等しくなるまでの年数がわかります。人数が同じ和どうしなら差は変わりませんが、人数がちがうと差が変わる、という点が前提の年齢算とのちがいです。
「和が □ 倍になる」問題も、同じ考え方で解けます。たとえば、両親の年れいの和が 80 さい、子ども 3 人の年れいの和が 24 さいで、両親の和が子どもの和の 2 倍になるのは何年後かを考えます。そのときの子どもの和を ① とすると、両親の和は ② です。線分図で、子どもの和の線分を 2 本つなげたもの（②）が、両親の和の線分と同じ長さになるときをさがします。
・子どもの和を 2 倍したもの: 今は さい。子どもの和は 1 年に 3 さいふえるので、その 2 倍は 1 年に さいふえる。
・両親の和: 今は 80 さい。1 年に 2 さいふえる。
今の差は さいで、この差は 1 年に さいずつ縮まります。 なので、8 年後に ② と両親の和が等しくなります。確かめると、8 年後の子どもの和は さい、両親の和は さいで、 です。
手順
くらべる 2 つのグループそれぞれについて、今の年れいの和と人数を確かめる。「□ 倍になる」問題では、小さいほうの和を ① とみて、その □ 倍（今の和も、1 年のふえ方も □ 倍する）を大きいほうの和とくらべる。
1 年たつごとに、それぞれが何さいふえるか（人数分、□ 倍したものはその □ 倍）を求め、2 つの差が 1 年にいくつ変わるかを求める。
今の差が、1 年に変わる差の何こ分かを考えて年数を求める。（今の差 ÷ 1 年に変わる差）
求めた年数後の年れいをそれぞれ計算し、問題の条件（等しい、□ 倍）になっているか確かめる。
例題
今、父は 40 さい、兄は 10 さい、弟は 6 さいです。父の年れいが、兄と弟の年れいの和と等しくなるのは、今から何年後ですか。
例題の解答
手順 1: 父 1 人の年れいは 40 さい、兄と弟 2 人の年れいの和は さいです。「等しくなる」問題なので、□ 倍する必要はありません。
手順 2: 1 年たつごとに、父は 1 さい、兄と弟の和は 2 人分で 2 さいふえます。だから、差は 1 年に さいずつ縮まります。
手順 3: 今の差は さいです。1 年に 1 さいずつ縮まるので、差がなくなるのは 年後です。
手順 4: 24 年後、父は さい、兄は さい、弟は さいで、 となり、たしかに等しくなっています。
答えは 24 年後です。
答え:
よくある誤り
2 人の和も 1 年に 1 さいしかふえないと考え、差が変わらないとしてしまう誤り。例: 父と兄弟の和の差 24 さいはずっと変わらないので「等しくならない」と答えてしまう。正しくは兄弟の和は 1 年に 2 さいふえるので、差は 1 年に さいずつ縮まり、24 年後に等しくなる。
1 年に変わる差を、和のふえる分そのものにしてしまう誤り。例: 兄弟の和が 1 年に 2 さいふえるので 年後としてしまう。正しくは父も 1 さいふえるので、差の縮み方は さいで、 年後。
「□ 倍になる」問題で、小さいほうの和を □ 倍するとき、ふえ方を □ 倍し忘れる誤り。例: 両親の和 80 さい、子ども 3 人の和 24 さいで、両親の和が子どもの和の 2 倍になるのは何年後かを求めるとき、子どもの和の 2 倍（今 48 さい）が 1 年に 3 さいずつふえるとして、差 を でわり 32 年後としてしまう。正しくは、子どもの和が 1 年に 3 さいふえるので、その 2 倍は 1 年に さいふえ、差は 1 年に さいずつ縮まる。 で 8 年後（両親 96 さい、子ども 48 さいで 2 倍）。
確かめをしないで答える誤り。正しくは、求めた年数をそれぞれの年れいにたし、 のように条件を満たしているか確かめる。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。